Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55595 / 42739
↖ ↑ ↗
← N 52.930430°
W 27.303772°		 ← 184.11 m → N 52.930430°
W 27.301025°		 →
↑
184.12 m
↓
↑
184.12 m
↓
N 52.928774°
W 27.303772°		 ← 184.11 m →
33 899 m²		 N 52.928774°
W 27.301025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424160003662109 y=0.326076507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424160003662109 × 217)
    floor (0.424160003662109 × 131072)
    floor (55595.5)     		tx = 55595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326076507568359 × 217)
    floor (0.326076507568359 × 131072)
    floor (42739.5)     		ty = 42739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55595 / 42739 ti = "17/55595/42739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55595/42739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55595 ÷ 217
    55595 ÷ 131072     		x = 0.424156188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42739 ÷ 217
    42739 ÷ 131072     		y = 0.326072692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424156188964844 × 2 - 1) × π
    -0.151687622070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.47654072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326072692871094 × 2 - 1) × π
    0.347854614257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.09281750063842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47654072} λ = -0.47654072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09281750063842))-π/2
    2×atan(2.98266590811094)-π/2
    2×1.24730330373007-π/2
    2.49460660746014-1.57079632675     		φ = 0.92381028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47654072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.303772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92381028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.930430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55595 KachelY 42739 -0.47654072 0.92381028 -27.303772 52.930430
    Oben rechts KachelX + 1 55596 KachelY 42739 -0.47649278 0.92381028 -27.301025 52.930430
    Unten links KachelX 55595 KachelY + 1 42740 -0.47654072 0.92378138 -27.303772 52.928774
    Unten rechts KachelX + 1 55596 KachelY + 1 42740 -0.47649278 0.92378138 -27.301025 52.928774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92381028-0.92378138) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dl = 184.12189999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92381028-0.92378138) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dr = 184.12189999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47654072--0.47649278) × cos(0.92381028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602784301323938 × 6371000     		do = 184.105841292126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47654072--0.47649278) × cos(0.92378138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602807360503113 × 6371000     		du = 184.112884158989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92381028)-sin(0.92378138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602784301323938-0.602807360503113)×R²
    abs(-0.47649278--0.47654072)×2.3059179174667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3059179174667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3059179174667e-05×40589641000000     		ar = 33898.5656751743m²