Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55593 / 44396
↖ ↑ ↗
← N 50.099441°
W 27.309265°		 ← 195.88 m → N 50.099441°
W 27.306519°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
N 50.097679°
W 27.309265°		 ← 195.88 m →
38 375 m²		 N 50.097679°
W 27.306519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424144744873047 y=0.338718414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424144744873047 × 217)
    floor (0.424144744873047 × 131072)
    floor (55593.5)     		tx = 55593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338718414306641 × 217)
    floor (0.338718414306641 × 131072)
    floor (44396.5)     		ty = 44396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55593 / 44396 ti = "17/55593/44396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55593/44396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55593 ÷ 217
    55593 ÷ 131072     		x = 0.424140930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44396 ÷ 217
    44396 ÷ 131072     		y = 0.338714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424140930175781 × 2 - 1) × π
    -0.151718139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47663659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338714599609375 × 2 - 1) × π
    0.32257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01338605796799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47663659} λ = -0.47663659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01338605796799))-π/2
    2×atan(2.75491353668218)-π/2
    2×1.22259826270957-π/2
    2.44519652541915-1.57079632675     		φ = 0.87440020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47663659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.309265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87440020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.099441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55593 KachelY 44396 -0.47663659 0.87440020 -27.309265 50.099441
    Oben rechts KachelX + 1 55594 KachelY 44396 -0.47658866 0.87440020 -27.306519 50.099441
    Unten links KachelX 55593 KachelY + 1 44397 -0.47663659 0.87436945 -27.309265 50.097679
    Unten rechts KachelX + 1 55594 KachelY + 1 44397 -0.47658866 0.87436945 -27.306519 50.097679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87440020-0.87436945) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87440020-0.87436945) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47663659--0.47658866) × cos(0.87440020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641457115425838 × 6371000     		do = 195.876646924498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47663659--0.47658866) × cos(0.87436945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.641480705258565 × 6371000     		du = 195.883850363707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87440020)-sin(0.87436945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641457115425838-0.641480705258565)×R²
    abs(-0.47658866--0.47663659)×2.35898327264339e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35898327264339e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35898327264339e-05×40589641000000     		ar = 38374.5567243265m²