Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55593 / 43273
↖ ↑ ↗
← N 52.037287°
W 27.309265°		 ← 187.84 m → N 52.037287°
W 27.306519°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 52.035597°
W 27.309265°		 ← 187.85 m →
35 293 m²		 N 52.035597°
W 27.306519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424144744873047 y=0.330150604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424144744873047 × 217)
    floor (0.424144744873047 × 131072)
    floor (55593.5)     		tx = 55593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330150604248047 × 217)
    floor (0.330150604248047 × 131072)
    floor (43273.5)     		ty = 43273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55593 / 43273 ti = "17/55593/43273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55593/43273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55593 ÷ 217
    55593 ÷ 131072     		x = 0.424140930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43273 ÷ 217
    43273 ÷ 131072     		y = 0.330146789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424140930175781 × 2 - 1) × π
    -0.151718139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47663659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330146789550781 × 2 - 1) × π
    0.339706420898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06721919624131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47663659} λ = -0.47663659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06721919624131))-π/2
    2×atan(2.90728366338886)-π/2
    2×1.23950915988167-π/2
    2.47901831976334-1.57079632675     		φ = 0.90822199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47663659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.309265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90822199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.037287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55593 KachelY 43273 -0.47663659 0.90822199 -27.309265 52.037287
    Oben rechts KachelX + 1 55594 KachelY 43273 -0.47658866 0.90822199 -27.306519 52.037287
    Unten links KachelX 55593 KachelY + 1 43274 -0.47663659 0.90819250 -27.309265 52.035597
    Unten rechts KachelX + 1 55594 KachelY + 1 43274 -0.47658866 0.90819250 -27.306519 52.035597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90822199-0.90819250) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dl = 187.880790000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90822199-0.90819250) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dr = 187.880790000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47663659--0.47658866) × cos(0.90822199) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.615148524170437 × 6371000     		do = 187.843002092304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47663659--0.47658866) × cos(0.90819250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.615171774150601 × 6371000     		du = 187.850101753444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90822199)-sin(0.90819250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615148524170437-0.615171774150601)×R²
    abs(-0.47658866--0.47663659)×2.32499801635644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32499801635644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32499801635644e-05×40589641000000     		ar = 35292.7585766274m²