Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55593 / 13203
↖ ↑ ↗
← N 80.695563°
W 27.309265°		 ← 49.37 m → N 80.695563°
W 27.306519°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.695119°
W 27.309265°		 ← 49.37 m →
2 438 m²		 N 80.695119°
W 27.306519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424144744873047 y=0.100734710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424144744873047 × 217)
    floor (0.424144744873047 × 131072)
    floor (55593.5)     		tx = 55593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100734710693359 × 217)
    floor (0.100734710693359 × 131072)
    floor (13203.5)     		ty = 13203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55593 / 13203 ti = "17/55593/13203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55593/13203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55593 ÷ 217
    55593 ÷ 131072     		x = 0.424140930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13203 ÷ 217
    13203 ÷ 131072     		y = 0.100730895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424140930175781 × 2 - 1) × π
    -0.151718139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47663659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100730895996094 × 2 - 1) × π
    0.798538208007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.5086817678164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47663659} λ = -0.47663659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5086817678164))-π/2
    2×atan(12.2887199923519)-π/2
    2×1.48959979789138-π/2
    2.97919959578275-1.57079632675     		φ = 1.40840327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47663659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.309265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40840327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.695563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55593 KachelY 13203 -0.47663659 1.40840327 -27.309265 80.695563
    Oben rechts KachelX + 1 55594 KachelY 13203 -0.47658866 1.40840327 -27.306519 80.695563
    Unten links KachelX 55593 KachelY + 1 13204 -0.47663659 1.40839552 -27.309265 80.695119
    Unten rechts KachelX + 1 55594 KachelY + 1 13204 -0.47658866 1.40839552 -27.306519 80.695119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40840327-1.40839552) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40840327-1.40839552) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47663659--0.47658866) × cos(1.40840327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16168023913272 × 6371000     		do = 49.3710060324831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47663659--0.47658866) × cos(1.40839552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16168788716266 × 6371000     		du = 49.3733414504311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40840327)-sin(1.40839552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16168023913272-0.16168788716266)×R²
    abs(-0.47658866--0.47663659)×7.64802994007718e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.64802994007718e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.64802994007718e-06×40589641000000     		ar = 2437.76342165161m²