Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55590 / 44402
↖ ↑ ↗
← N 50.088869°
W 27.317505°		 ← 195.92 m → N 50.088869°
W 27.314758°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
N 50.087106°
W 27.317505°		 ← 195.93 m →
38 396 m²		 N 50.087106°
W 27.314758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424121856689453 y=0.338764190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424121856689453 × 217)
    floor (0.424121856689453 × 131072)
    floor (55590.5)     		tx = 55590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338764190673828 × 217)
    floor (0.338764190673828 × 131072)
    floor (44402.5)     		ty = 44402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55590 / 44402 ti = "17/55590/44402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55590/44402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55590 ÷ 217
    55590 ÷ 131072     		x = 0.424118041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44402 ÷ 217
    44402 ÷ 131072     		y = 0.338760375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424118041992188 × 2 - 1) × π
    -0.151763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47678040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338760375976562 × 2 - 1) × π
    0.322479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01309843657027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47678040} λ = -0.47678040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01309843657027))-π/2
    2×atan(2.75412127854082)-π/2
    2×1.22250600413577-π/2
    2.44501200827155-1.57079632675     		φ = 0.87421568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47678040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.317505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87421568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.088869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55590 KachelY 44402 -0.47678040 0.87421568 -27.317505 50.088869
    Oben rechts KachelX + 1 55591 KachelY 44402 -0.47673247 0.87421568 -27.314758 50.088869
    Unten links KachelX 55590 KachelY + 1 44403 -0.47678040 0.87418492 -27.317505 50.087106
    Unten rechts KachelX + 1 55591 KachelY + 1 44403 -0.47673247 0.87418492 -27.314758 50.087106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87421568-0.87418492) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87421568-0.87418492) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47678040--0.47673247) × cos(0.87421568) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64159866066416 × 6371000     		do = 195.919869465582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47678040--0.47673247) × cos(0.87418492) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.641622254527004 × 6371000     		du = 195.927074135436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87421568)-sin(0.87418492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64159866066416-0.641622254527004)×R²
    abs(-0.47673247--0.47678040)×2.3593862844562e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3593862844562e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3593862844562e-05×40589641000000     		ar = 38395.506781852m²