Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55589 / 44397
↖ ↑ ↗
← N 50.097679°
W 27.320251°		 ← 195.92 m → N 50.097679°
W 27.317505°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
N 50.095917°
W 27.320251°		 ← 195.93 m →
38 384 m²		 N 50.095917°
W 27.317505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424114227294922 y=0.338726043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424114227294922 × 217)
    floor (0.424114227294922 × 131072)
    floor (55589.5)     		tx = 55589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338726043701172 × 217)
    floor (0.338726043701172 × 131072)
    floor (44397.5)     		ty = 44397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55589 / 44397 ti = "17/55589/44397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55589/44397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55589 ÷ 217
    55589 ÷ 131072     		x = 0.424110412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44397 ÷ 217
    44397 ÷ 131072     		y = 0.338722229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424110412597656 × 2 - 1) × π
    -0.151779174804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.47682834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338722229003906 × 2 - 1) × π
    0.322555541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.01333812106837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47682834} λ = -0.47682834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01333812106837))-π/2
    2×atan(2.75478147783378)-π/2
    2×1.22258288769417-π/2
    2.44516577538833-1.57079632675     		φ = 0.87436945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47682834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.320251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87436945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.097679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55589 KachelY 44397 -0.47682834 0.87436945 -27.320251 50.097679
    Oben rechts KachelX + 1 55590 KachelY 44397 -0.47678040 0.87436945 -27.317505 50.097679
    Unten links KachelX 55589 KachelY + 1 44398 -0.47682834 0.87433870 -27.320251 50.095917
    Unten rechts KachelX + 1 55590 KachelY + 1 44398 -0.47678040 0.87433870 -27.317505 50.095917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87436945-0.87433870) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87436945-0.87433870) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47682834--0.47678040) × cos(0.87436945) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641480705258565 × 6371000     		do = 195.924719099417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47682834--0.47678040) × cos(0.87433870) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641504294484731 × 6371000     		du = 195.931923856275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87436945)-sin(0.87433870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641480705258565-0.641504294484731)×R²
    abs(-0.47678040--0.47682834)×2.35892261662984e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35892261662984e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35892261662984e-05×40589641000000     		ar = 38383.974589176m²