Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55587 / 43257
↖ ↑ ↗
← N 52.064312°
W 27.325744°		 ← 187.73 m → N 52.064312°
W 27.322998°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
N 52.062623°
W 27.325744°		 ← 187.74 m →
35 247 m²		 N 52.062623°
W 27.322998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424098968505859 y=0.330028533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424098968505859 × 217)
    floor (0.424098968505859 × 131072)
    floor (55587.5)     		tx = 55587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330028533935547 × 217)
    floor (0.330028533935547 × 131072)
    floor (43257.5)     		ty = 43257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55587 / 43257 ti = "17/55587/43257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55587/43257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55587 ÷ 217
    55587 ÷ 131072     		x = 0.424095153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43257 ÷ 217
    43257 ÷ 131072     		y = 0.330024719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424095153808594 × 2 - 1) × π
    -0.151809692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.47692421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330024719238281 × 2 - 1) × π
    0.339950561523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06798618663523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47692421} λ = -0.47692421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06798618663523))-π/2
    2×atan(2.90951437738984)-π/2
    2×1.23974499506405-π/2
    2.4794899901281-1.57079632675     		φ = 0.90869366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47692421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.325744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90869366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.064312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55587 KachelY 43257 -0.47692421 0.90869366 -27.325744 52.064312
    Oben rechts KachelX + 1 55588 KachelY 43257 -0.47687628 0.90869366 -27.322998 52.064312
    Unten links KachelX 55587 KachelY + 1 43258 -0.47692421 0.90866419 -27.325744 52.062623
    Unten rechts KachelX + 1 55588 KachelY + 1 43258 -0.47687628 0.90866419 -27.322998 52.062623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90869366-0.90866419) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90869366-0.90866419) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47692421--0.47687628) × cos(0.90869366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.614776585824867 × 6371000     		do = 187.729426244065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47692421--0.47687628) × cos(0.90866419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61479982858538 × 6371000     		du = 187.736523700598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90869366)-sin(0.90866419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614776585824867-0.61479982858538)×R²
    abs(-0.47687628--0.47692421)×2.32427605130203e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32427605130203e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32427605130203e-05×40589641000000     		ar = 35247.4987136622m²