Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 55587 / 22819
↖ ↑ ↗
← N 47.861089°
E125.348510°		 ← 409.84 m → N 47.861089°
E125.354004°		 →
↑
409.85 m
↓
↑
409.85 m
↓
N 47.857403°
E125.348510°		 ← 409.87 m →
167 977 m²		 N 47.857403°
E125.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.848197937011719 y=0.348197937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.848197937011719 × 216)
    floor (0.848197937011719 × 65536)
    floor (55587.5)     		tx = 55587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348197937011719 × 216)
    floor (0.348197937011719 × 65536)
    floor (22819.5)     		ty = 22819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 55587 / 22819 ti = "16/55587/22819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/55587/22819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55587 ÷ 216
    55587 ÷ 65536     		x = 0.848190307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22819 ÷ 216
    22819 ÷ 65536     		y = 0.348190307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.848190307617188 × 2 - 1) × π
    0.696380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.18774422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348190307617188 × 2 - 1) × π
    0.303619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.953848428639877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.18774422} λ = 2.18774422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953848428639877))-π/2
    2×atan(2.59567975071071)-π/2
    2×1.20306495283571-π/2
    2.40612990567143-1.57079632675     		φ = 0.83533358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.18774422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 125.348510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83533358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.861089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55587 KachelY 22819 2.18774422 0.83533358 125.348510 47.861089
    Oben rechts KachelX + 1 55588 KachelY 22819 2.18784010 0.83533358 125.354004 47.861089
    Unten links KachelX 55587 KachelY + 1 22820 2.18774422 0.83526925 125.348510 47.857403
    Unten rechts KachelX + 1 55588 KachelY + 1 22820 2.18784010 0.83526925 125.354004 47.857403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83533358-0.83526925) × R
    6.43300000000568e-05 × 6371000     		dl = 409.846430000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83533358-0.83526925) × R
    6.43300000000568e-05 × 6371000     		dr = 409.846430000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.18774422-2.18784010) × cos(0.83533358) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.670930363631191 × 6371000     		do = 409.838805600783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.18774422-2.18784010) × cos(0.83526925) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.67097806424777 × 6371000     		du = 409.867943593016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83533358)-sin(0.83526925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670930363631191-0.67097806424777)×R²
    abs(2.18784010-2.18774422)×4.77006165782168e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77006165782168e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77006165782168e-05×40589641000000     		ar = 167976.942459757m²