Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55580 / 44303
↖ ↑ ↗
← N 50.263010°
W 27.344971°		 ← 195.21 m → N 50.263010°
W 27.342224°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
N 50.261254°
W 27.344971°		 ← 195.21 m →
38 107 m²		 N 50.261254°
W 27.342224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424045562744141 y=0.338008880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424045562744141 × 217)
    floor (0.424045562744141 × 131072)
    floor (55580.5)     		tx = 55580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338008880615234 × 217)
    floor (0.338008880615234 × 131072)
    floor (44303.5)     		ty = 44303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55580 / 44303 ti = "17/55580/44303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55580/44303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55580 ÷ 217
    55580 ÷ 131072     		x = 0.424041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44303 ÷ 217
    44303 ÷ 131072     		y = 0.338005065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.15191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47725977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338005065917969 × 2 - 1) × π
    0.323989868164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.01784418963265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47725977} λ = -0.47725977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01784418963265))-π/2
    2×atan(2.76722272154988)-π/2
    2×1.2240256685835-π/2
    2.44805133716699-1.57079632675     		φ = 0.87725501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47725977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.344971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87725501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.263010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55580 KachelY 44303 -0.47725977 0.87725501 -27.344971 50.263010
    Oben rechts KachelX + 1 55581 KachelY 44303 -0.47721184 0.87725501 -27.342224 50.263010
    Unten links KachelX 55580 KachelY + 1 44304 -0.47725977 0.87722437 -27.344971 50.261254
    Unten rechts KachelX + 1 55581 KachelY + 1 44304 -0.47721184 0.87722437 -27.342224 50.261254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87725501-0.87722437) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dl = 195.207439999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87725501-0.87722437) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dr = 195.207439999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47725977--0.47721184) × cos(0.87725501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639264411600948 × 6371000     		do = 195.207078433341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47725977--0.47721184) × cos(0.87722437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639287973062668 × 6371000     		du = 195.214273209121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87725501)-sin(0.87722437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639264411600948-0.639287973062668)×R²
    abs(-0.47721184--0.47725977)×2.35614617198898e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35614617198898e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35614617198898e-05×40589641000000     		ar = 38106.5762907661m²