Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55580 / 44300
↖ ↑ ↗
← N 50.268277°
W 27.344971°		 ← 195.19 m → N 50.268277°
W 27.342224°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
N 50.266521°
W 27.344971°		 ← 195.19 m →
38 102 m²		 N 50.266521°
W 27.342224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424045562744141 y=0.337985992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424045562744141 × 217)
    floor (0.424045562744141 × 131072)
    floor (55580.5)     		tx = 55580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337985992431641 × 217)
    floor (0.337985992431641 × 131072)
    floor (44300.5)     		ty = 44300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55580 / 44300 ti = "17/55580/44300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55580/44300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55580 ÷ 217
    55580 ÷ 131072     		x = 0.424041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44300 ÷ 217
    44300 ÷ 131072     		y = 0.337982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.15191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47725977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337982177734375 × 2 - 1) × π
    0.32403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01798800033151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47725977} λ = -0.47725977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01798800033151))-π/2
    2×atan(2.76762070639992)-π/2
    2×1.22407163257271-π/2
    2.44814326514543-1.57079632675     		φ = 0.87734694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47725977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.344971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87734694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.268277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55580 KachelY 44300 -0.47725977 0.87734694 -27.344971 50.268277
    Oben rechts KachelX + 1 55581 KachelY 44300 -0.47721184 0.87734694 -27.342224 50.268277
    Unten links KachelX 55580 KachelY + 1 44301 -0.47725977 0.87731630 -27.344971 50.266521
    Unten rechts KachelX + 1 55581 KachelY + 1 44301 -0.47721184 0.87731630 -27.342224 50.266521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87734694-0.87731630) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dl = 195.207439999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87734694-0.87731630) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dr = 195.207439999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47725977--0.47721184) × cos(0.87734694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639193715924534 × 6371000     		do = 195.185490658078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47725977--0.47721184) × cos(0.87731630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639217279186826 × 6371000     		du = 195.192685983685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87734694)-sin(0.87731630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639193715924534-0.639217279186826)×R²
    abs(-0.47721184--0.47725977)×2.35632622921367e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35632622921367e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35632622921367e-05×40589641000000     		ar = 38102.3622500187m²