Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55577 / 14685
↖ ↑ ↗
← N 80.013852°
W 27.353210°		 ← 52.95 m → N 80.013852°
W 27.350464°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.013376°
W 27.353210°		 ← 52.96 m →
2 807 m²		 N 80.013376°
W 27.350464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424022674560547 y=0.112041473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424022674560547 × 217)
    floor (0.424022674560547 × 131072)
    floor (55577.5)     		tx = 55577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112041473388672 × 217)
    floor (0.112041473388672 × 131072)
    floor (14685.5)     		ty = 14685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55577 / 14685 ti = "17/55577/14685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55577/14685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55577 ÷ 217
    55577 ÷ 131072     		x = 0.424018859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14685 ÷ 217
    14685 ÷ 131072     		y = 0.112037658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424018859863281 × 2 - 1) × π
    -0.151962280273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47740358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112037658691406 × 2 - 1) × π
    0.775924682617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.43763928257948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47740358} λ = -0.47740358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43763928257948))-π/2
    2×atan(11.4459880800567)-π/2
    2×1.48365074707222-π/2
    2.96730149414444-1.57079632675     		φ = 1.39650517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47740358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.353210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39650517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.013852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55577 KachelY 14685 -0.47740358 1.39650517 -27.353210 80.013852
    Oben rechts KachelX + 1 55578 KachelY 14685 -0.47735565 1.39650517 -27.350464 80.013852
    Unten links KachelX 55577 KachelY + 1 14686 -0.47740358 1.39649685 -27.353210 80.013376
    Unten rechts KachelX + 1 55578 KachelY + 1 14686 -0.47735565 1.39649685 -27.350464 80.013376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39650517-1.39649685) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39650517-1.39649685) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47740358--0.47735565) × cos(1.39650517) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.173410077194991 × 6371000     		do = 52.9528531946902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47740358--0.47735565) × cos(1.39649685) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.17341827113855 × 6371000     		du = 52.9553553139291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39650517)-sin(1.39649685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173410077194991-0.17341827113855)×R²
    abs(-0.47735565--0.47740358)×8.19394355922043e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.19394355922043e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.19394355922043e-06×40589641000000     		ar = 2806.92337726788m²