Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55576 / 42792
↖ ↑ ↗
← N 52.842595°
W 27.355957°		 ← 184.48 m → N 52.842595°
W 27.353210°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.840936°
W 27.355957°		 ← 184.49 m →
34 026 m²		 N 52.840936°
W 27.353210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424015045166016 y=0.326480865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424015045166016 × 217)
    floor (0.424015045166016 × 131072)
    floor (55576.5)     		tx = 55576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326480865478516 × 217)
    floor (0.326480865478516 × 131072)
    floor (42792.5)     		ty = 42792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55576 / 42792 ti = "17/55576/42792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55576/42792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55576 ÷ 217
    55576 ÷ 131072     		x = 0.42401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42792 ÷ 217
    42792 ÷ 131072     		y = 0.32647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.1519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47745152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32647705078125 × 2 - 1) × π
    0.3470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09027684495856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47745152} λ = -0.47745152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09027684495856))-π/2
    2×atan(2.97509759933478)-π/2
    2×1.24653679367907-π/2
    2.49307358735814-1.57079632675     		φ = 0.92227726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47745152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92227726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.842595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55576 KachelY 42792 -0.47745152 0.92227726 -27.355957 52.842595
    Oben rechts KachelX + 1 55577 KachelY 42792 -0.47740358 0.92227726 -27.353210 52.842595
    Unten links KachelX 55576 KachelY + 1 42793 -0.47745152 0.92224831 -27.355957 52.840936
    Unten rechts KachelX + 1 55577 KachelY + 1 42793 -0.47740358 0.92224831 -27.353210 52.840936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92227726-0.92224831) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92227726-0.92224831) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47745152--0.47740358) × cos(0.92227726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604006795599517 × 6371000     		do = 184.479222511104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47745152--0.47740358) × cos(0.92224831) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604029867893257 × 6371000     		du = 184.486269383493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92227726)-sin(0.92224831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604006795599517-0.604029867893257)×R²
    abs(-0.47740358--0.47745152)×2.30722937396566e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30722937396566e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30722937396566e-05×40589641000000     		ar = 34026.0806821869m²