Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55575 / 43257
↖ ↑ ↗
← N 52.064312°
W 27.358704°		 ← 187.77 m → N 52.064312°
W 27.355957°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
N 52.062623°
W 27.358704°		 ← 187.78 m →
35 255 m²		 N 52.062623°
W 27.355957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424007415771484 y=0.330028533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424007415771484 × 217)
    floor (0.424007415771484 × 131072)
    floor (55575.5)     		tx = 55575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330028533935547 × 217)
    floor (0.330028533935547 × 131072)
    floor (43257.5)     		ty = 43257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55575 / 43257 ti = "17/55575/43257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55575/43257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55575 ÷ 217
    55575 ÷ 131072     		x = 0.424003601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43257 ÷ 217
    43257 ÷ 131072     		y = 0.330024719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424003601074219 × 2 - 1) × π
    -0.151992797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.47749946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330024719238281 × 2 - 1) × π
    0.339950561523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.06798618663523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47749946} λ = -0.47749946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06798618663523))-π/2
    2×atan(2.90951437738984)-π/2
    2×1.23974499506405-π/2
    2.4794899901281-1.57079632675     		φ = 0.90869366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47749946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.358704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90869366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.064312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55575 KachelY 43257 -0.47749946 0.90869366 -27.358704 52.064312
    Oben rechts KachelX + 1 55576 KachelY 43257 -0.47745152 0.90869366 -27.355957 52.064312
    Unten links KachelX 55575 KachelY + 1 43258 -0.47749946 0.90866419 -27.358704 52.062623
    Unten rechts KachelX + 1 55576 KachelY + 1 43258 -0.47745152 0.90866419 -27.355957 52.062623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90869366-0.90866419) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90869366-0.90866419) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47749946--0.47745152) × cos(0.90869366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614776585824867 × 6371000     		do = 187.76859366011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47749946--0.47745152) × cos(0.90866419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61479982858538 × 6371000     		du = 187.77569259744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90869366)-sin(0.90866419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614776585824867-0.61479982858538)×R²
    abs(-0.47745152--0.47749946)×2.32427605130203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32427605130203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32427605130203e-05×40589641000000     		ar = 35254.8526670315m²