Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55570 / 42894
↖ ↑ ↗
← N 52.673051°
W 27.372436°		 ← 185.20 m → N 52.673051°
W 27.369690°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
N 52.671386°
W 27.372436°		 ← 185.21 m →
34 289 m²		 N 52.671386°
W 27.369690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423969268798828 y=0.327259063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423969268798828 × 217)
    floor (0.423969268798828 × 131072)
    floor (55570.5)     		tx = 55570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327259063720703 × 217)
    floor (0.327259063720703 × 131072)
    floor (42894.5)     		ty = 42894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55570 / 42894 ti = "17/55570/42894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55570/42894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55570 ÷ 217
    55570 ÷ 131072     		x = 0.423965454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42894 ÷ 217
    42894 ÷ 131072     		y = 0.327255249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423965454101562 × 2 - 1) × π
    -0.152069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47773914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327255249023438 × 2 - 1) × π
    0.345489501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08538728119731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47773914} λ = -0.47773914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08538728119731))-π/2
    2×atan(2.96058617610286)-π/2
    2×1.24505725003338-π/2
    2.49011450006676-1.57079632675     		φ = 0.91931817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47773914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.372436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91931817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.673051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55570 KachelY 42894 -0.47773914 0.91931817 -27.372436 52.673051
    Oben rechts KachelX + 1 55571 KachelY 42894 -0.47769120 0.91931817 -27.369690 52.673051
    Unten links KachelX 55570 KachelY + 1 42895 -0.47773914 0.91928911 -27.372436 52.671386
    Unten rechts KachelX + 1 55571 KachelY + 1 42895 -0.47769120 0.91928911 -27.369690 52.671386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91931817-0.91928911) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dl = 185.14126000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91931817-0.91928911) × R
    2.90600000000252e-05 × 6371000     		dr = 185.14126000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47773914--0.47769120) × cos(0.91931817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606362480833509 × 6371000     		do = 185.198709416903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47773914--0.47769120) × cos(0.91928911) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606385588751471 × 6371000     		du = 185.205767169847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91931817)-sin(0.91928911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606362480833509-0.606385588751471)×R²
    abs(-0.47769120--0.47773914)×2.31079179618954e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31079179618954e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31079179618954e-05×40589641000000     		ar = 34288.5757547682m²