Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55568 / 42899
↖ ↑ ↗
← N 52.664723°
W 27.377930°		 ← 185.23 m → N 52.664723°
W 27.375183°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
N 52.663058°
W 27.377930°		 ← 185.24 m →
34 307 m²		 N 52.663058°
W 27.375183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423954010009766 y=0.327297210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423954010009766 × 217)
    floor (0.423954010009766 × 131072)
    floor (55568.5)     		tx = 55568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327297210693359 × 217)
    floor (0.327297210693359 × 131072)
    floor (42899.5)     		ty = 42899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55568 / 42899 ti = "17/55568/42899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55568/42899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55568 ÷ 217
    55568 ÷ 131072     		x = 0.4239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42899 ÷ 217
    42899 ÷ 131072     		y = 0.327293395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47783502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327293395996094 × 2 - 1) × π
    0.345413208007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.08514759669921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47783502} λ = -0.47783502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08514759669921))-π/2
    2×atan(2.95987665452522)-π/2
    2×1.24498457526502-π/2
    2.48996915053005-1.57079632675     		φ = 0.91917282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47783502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91917282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.664723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55568 KachelY 42899 -0.47783502 0.91917282 -27.377930 52.664723
    Oben rechts KachelX + 1 55569 KachelY 42899 -0.47778708 0.91917282 -27.375183 52.664723
    Unten links KachelX 55568 KachelY + 1 42900 -0.47783502 0.91914375 -27.377930 52.663058
    Unten rechts KachelX + 1 55569 KachelY + 1 42900 -0.47778708 0.91914375 -27.375183 52.663058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91917282-0.91914375) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dl = 185.204969999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91917282-0.91914375) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dr = 185.204969999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47783502--0.47778708) × cos(0.91917282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606478055057308 × 6371000     		do = 185.234008759732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47783502--0.47778708) × cos(0.91914375) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606501168364606 × 6371000     		du = 185.241068158717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91917282)-sin(0.91914375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606478055057308-0.606501168364606)×R²
    abs(-0.47778708--0.47783502)×2.31133072979839e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31133072979839e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31133072979839e-05×40589641000000     		ar = 34306.9127555425m²