Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55564 / 42902
↖ ↑ ↗
← N 52.659726°
W 27.388916°		 ← 185.22 m → N 52.659726°
W 27.386170°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
N 52.658060°
W 27.388916°		 ← 185.22 m →
34 315 m²		 N 52.658060°
W 27.386170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423923492431641 y=0.327320098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423923492431641 × 217)
    floor (0.423923492431641 × 131072)
    floor (55564.5)     		tx = 55564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327320098876953 × 217)
    floor (0.327320098876953 × 131072)
    floor (42902.5)     		ty = 42902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55564 / 42902 ti = "17/55564/42902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55564/42902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55564 ÷ 217
    55564 ÷ 131072     		x = 0.423919677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42902 ÷ 217
    42902 ÷ 131072     		y = 0.327316284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.15216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47802676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327316284179688 × 2 - 1) × π
    0.345367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08500378600035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47802676} λ = -0.47802676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08500378600035))-π/2
    2×atan(2.95945102320089)-π/2
    2×1.24494096375551-π/2
    2.48988192751103-1.57079632675     		φ = 0.91908560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47802676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91908560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.659726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55564 KachelY 42902 -0.47802676 0.91908560 -27.388916 52.659726
    Oben rechts KachelX + 1 55565 KachelY 42902 -0.47797883 0.91908560 -27.386170 52.659726
    Unten links KachelX 55564 KachelY + 1 42903 -0.47802676 0.91905652 -27.388916 52.658060
    Unten rechts KachelX + 1 55565 KachelY + 1 42903 -0.47797883 0.91905652 -27.386170 52.658060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91908560-0.91905652) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dl = 185.268679999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91908560-0.91905652) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dr = 185.268679999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47802676--0.47797883) × cos(0.91908560) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606547401392058 × 6371000     		do = 185.216545780202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47802676--0.47797883) × cos(0.91905652) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606570521111819 × 6371000     		du = 185.223605664762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91908560)-sin(0.91905652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606547401392058-0.606570521111819)×R²
    abs(-0.47797883--0.47802676)×2.3119719761322e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3119719761322e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3119719761322e-05×40589641000000     		ar = 34315.4789408716m²