Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55562 / 42905
↖ ↑ ↗
← N 52.654728°
W 27.394409°		 ← 185.28 m → N 52.654728°
W 27.391663°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
N 52.653062°
W 27.394409°		 ← 185.28 m →
34 327 m²		 N 52.653062°
W 27.391663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423908233642578 y=0.327342987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423908233642578 × 217)
    floor (0.423908233642578 × 131072)
    floor (55562.5)     		tx = 55562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327342987060547 × 217)
    floor (0.327342987060547 × 131072)
    floor (42905.5)     		ty = 42905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55562 / 42905 ti = "17/55562/42905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55562/42905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55562 ÷ 217
    55562 ÷ 131072     		x = 0.423904418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42905 ÷ 217
    42905 ÷ 131072     		y = 0.327339172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423904418945312 × 2 - 1) × π
    -0.152191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47812264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327339172363281 × 2 - 1) × π
    0.345321655273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.08485997530149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47812264} λ = -0.47812264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08485997530149))-π/2
    2×atan(2.95902545308251)-π/2
    2×1.24489734725934-π/2
    2.48979469451868-1.57079632675     		φ = 0.91899837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47812264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.394409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91899837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.654728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55562 KachelY 42905 -0.47812264 0.91899837 -27.394409 52.654728
    Oben rechts KachelX + 1 55563 KachelY 42905 -0.47807470 0.91899837 -27.391663 52.654728
    Unten links KachelX 55562 KachelY + 1 42906 -0.47812264 0.91896929 -27.394409 52.653062
    Unten rechts KachelX + 1 55563 KachelY + 1 42906 -0.47807470 0.91896929 -27.391663 52.653062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91899837-0.91896929) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dl = 185.268679999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91899837-0.91896929) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dr = 185.268679999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47812264--0.47807470) × cos(0.91899837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606616751062546 × 6371000     		do = 185.276370089552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47812264--0.47807470) × cos(0.91896929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606639869243592 × 6371000     		du = 185.283430977106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91899837)-sin(0.91896929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606616751062546-0.606639869243592)×R²
    abs(-0.47807470--0.47812264)×2.31181810464998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31181810464998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31181810464998e-05×40589641000000     		ar = 34326.5626046314m²