Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55562 / 14711
↖ ↑ ↗
← N 80.001461°
W 27.394409°		 ← 53.03 m → N 80.001461°
W 27.391663°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.000984°
W 27.394409°		 ← 53.03 m →
2 811 m²		 N 80.000984°
W 27.391663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423908233642578 y=0.112239837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423908233642578 × 217)
    floor (0.423908233642578 × 131072)
    floor (55562.5)     		tx = 55562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112239837646484 × 217)
    floor (0.112239837646484 × 131072)
    floor (14711.5)     		ty = 14711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55562 / 14711 ti = "17/55562/14711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55562/14711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55562 ÷ 217
    55562 ÷ 131072     		x = 0.423904418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14711 ÷ 217
    14711 ÷ 131072     		y = 0.112236022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423904418945312 × 2 - 1) × π
    -0.152191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47812264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112236022949219 × 2 - 1) × π
    0.775527954101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43639292318935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47812264} λ = -0.47812264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43639292318935))-π/2
    2×atan(11.4317311518077)-π/2
    2×1.48354261508124-π/2
    2.96708523016247-1.57079632675     		φ = 1.39628890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47812264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.394409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39628890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.001461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55562 KachelY 14711 -0.47812264 1.39628890 -27.394409 80.001461
    Oben rechts KachelX + 1 55563 KachelY 14711 -0.47807470 1.39628890 -27.391663 80.001461
    Unten links KachelX 55562 KachelY + 1 14712 -0.47812264 1.39628058 -27.394409 80.000984
    Unten rechts KachelX + 1 55563 KachelY + 1 14712 -0.47807470 1.39628058 -27.391663 80.000984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39628890-1.39628058) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39628890-1.39628058) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47812264--0.47807470) × cos(1.39628890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173623066584006 × 6371000     		do = 53.0289535924545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47812264--0.47807470) × cos(1.39628058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173631260215338 × 6371000     		du = 53.0314561383673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39628890)-sin(1.39628058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173623066584006-0.173631260215338)×R²
    abs(-0.47807470--0.47812264)×8.19363133194861e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.19363133194861e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.19363133194861e-06×40589641000000     		ar = 2810.95722076161m²