Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55561 / 42903
↖ ↑ ↗
← N 52.658060°
W 27.397156°		 ← 185.22 m → N 52.658060°
W 27.394409°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
N 52.656394°
W 27.397156°		 ← 185.23 m →
34 305 m²		 N 52.656394°
W 27.394409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423900604248047 y=0.327327728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423900604248047 × 217)
    floor (0.423900604248047 × 131072)
    floor (55561.5)     		tx = 55561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327327728271484 × 217)
    floor (0.327327728271484 × 131072)
    floor (42903.5)     		ty = 42903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55561 / 42903 ti = "17/55561/42903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55561/42903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55561 ÷ 217
    55561 ÷ 131072     		x = 0.423896789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42903 ÷ 217
    42903 ÷ 131072     		y = 0.327323913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423896789550781 × 2 - 1) × π
    -0.152206420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47817057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327323913574219 × 2 - 1) × π
    0.345352172851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.08495584910073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47817057} λ = -0.47817057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08495584910073))-π/2
    2×atan(2.95930915969454)-π/2
    2×1.24492642547754-π/2
    2.48985285095508-1.57079632675     		φ = 0.91905652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47817057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.397156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91905652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.658060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55561 KachelY 42903 -0.47817057 0.91905652 -27.397156 52.658060
    Oben rechts KachelX + 1 55562 KachelY 42903 -0.47812264 0.91905652 -27.394409 52.658060
    Unten links KachelX 55561 KachelY + 1 42904 -0.47817057 0.91902745 -27.397156 52.656394
    Unten rechts KachelX + 1 55562 KachelY + 1 42904 -0.47812264 0.91902745 -27.394409 52.656394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91905652-0.91902745) × R
    2.90700000000754e-05 × 6371000     		dl = 185.204970000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91905652-0.91902745) × R
    2.90700000000754e-05 × 6371000     		dr = 185.204970000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47817057--0.47812264) × cos(0.91905652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.606570521111819 × 6371000     		do = 185.223605664976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47817057--0.47812264) × cos(0.91902745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.606593632368516 × 6371000     		du = 185.230662965237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91905652)-sin(0.91902745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606570521111819-0.606593632368516)×R²
    abs(-0.47812264--0.47817057)×2.31112566968505e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31112566968505e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31112566968505e-05×40589641000000     		ar = 34304.9858565826m²