Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5556 / 3604
↖ ↑ ↗
← N 80.141162°
W118.959961°		 ← 209.17 m → N 80.141162°
W118.948975°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 80.139281°
W118.959961°		 ← 209.21 m →
43 754 m²		 N 80.139281°
W118.948975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169570922851562 y=0.110000610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169570922851562 × 215)
    floor (0.169570922851562 × 32768)
    floor (5556.5)     		tx = 5556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110000610351562 × 215)
    floor (0.110000610351562 × 32768)
    floor (3604.5)     		ty = 3604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5556 / 3604 ti = "15/5556/3604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5556/3604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5556 ÷ 215
    5556 ÷ 32768     		x = 0.1695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3604 ÷ 215
    3604 ÷ 32768     		y = 0.1099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1695556640625 × 2 - 1) × π
    -0.660888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07624300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1099853515625 × 2 - 1) × π
    0.780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45053430857727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07624300} λ = -2.07624300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45053430857727))-π/2
    2×atan(11.5945401267199)-π/2
    2×1.4847617403413-π/2
    2.9695234806826-1.57079632675     		φ = 1.39872715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07624300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39872715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.141162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5556 KachelY 3604 -2.07624300 1.39872715 -118.959961 80.141162
    Oben rechts KachelX + 1 5557 KachelY 3604 -2.07605125 1.39872715 -118.948975 80.141162
    Unten links KachelX 5556 KachelY + 1 3605 -2.07624300 1.39869432 -118.959961 80.139281
    Unten rechts KachelX + 1 5557 KachelY + 1 3605 -2.07605125 1.39869432 -118.948975 80.139281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39872715-1.39869432) × R
    3.28300000000947e-05 × 6371000     		dl = 209.159930000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39872715-1.39869432) × R
    3.28300000000947e-05 × 6371000     		dr = 209.159930000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07624300--2.07605125) × cos(1.39872715) × R
    0.000191749999999935 × 0.171221334564487 × 6371000     		do = 209.170702741288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07624300--2.07605125) × cos(1.39869432) × R
    0.000191749999999935 × 0.171253679658109 × 6371000     		du = 209.210216777201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39872715)-sin(1.39869432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171221334564487-0.171253679658109)×R²
    abs(-2.07605125--2.07624300)×3.2345093621905e-05×R²
    0.000191749999999935×3.2345093621905e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.2345093621905e-05×40589641000000     		ar = 43754.2619237885m²