Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5556 / 3596
↖ ↑ ↗
← N 80.156200°
W118.959961°		 ← 208.85 m → N 80.156200°
W118.948975°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
N 80.154322°
W118.959961°		 ← 208.89 m →
43 635 m²		 N 80.154322°
W118.948975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169570922851562 y=0.109756469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169570922851562 × 215)
    floor (0.169570922851562 × 32768)
    floor (5556.5)     		tx = 5556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109756469726562 × 215)
    floor (0.109756469726562 × 32768)
    floor (3596.5)     		ty = 3596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5556 / 3596 ti = "15/5556/3596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5556/3596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5556 ÷ 215
    5556 ÷ 32768     		x = 0.1695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3596 ÷ 215
    3596 ÷ 32768     		y = 0.1097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1695556640625 × 2 - 1) × π
    -0.660888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07624300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1097412109375 × 2 - 1) × π
    0.780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45206828936511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07624300} λ = -2.07624300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45206828936511))-π/2
    2×atan(11.6123395770352)-π/2
    2×1.48489296626802-π/2
    2.96978593253604-1.57079632675     		φ = 1.39898961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07624300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39898961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.156200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5556 KachelY 3596 -2.07624300 1.39898961 -118.959961 80.156200
    Oben rechts KachelX + 1 5557 KachelY 3596 -2.07605125 1.39898961 -118.948975 80.156200
    Unten links KachelX 5556 KachelY + 1 3597 -2.07624300 1.39895682 -118.959961 80.154322
    Unten rechts KachelX + 1 5557 KachelY + 1 3597 -2.07605125 1.39895682 -118.948975 80.154322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39898961-1.39895682) × R
    3.27900000001158e-05 × 6371000     		dl = 208.905090000738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39898961-1.39895682) × R
    3.27900000001158e-05 × 6371000     		dr = 208.905090000738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07624300--2.07605125) × cos(1.39898961) × R
    0.000191749999999935 × 0.170962744524813 × 6371000     		do = 208.854798999163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07624300--2.07605125) × cos(1.39895682) × R
    0.000191749999999935 × 0.170995051681924 × 6371000     		du = 208.894266690346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39898961)-sin(1.39895682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170962744524813-0.170995051681924)×R²
    abs(-2.07605125--2.07624300)×3.23071571110833e-05×R²
    0.000191749999999935×3.23071571110833e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.23071571110833e-05×40589641000000     		ar = 43634.9530868221m²