Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5556 / 11947
↖ ↑ ↗
← S 63.342272°
W 57.919922°		 ← 1 096.20 m → S 63.342272°
W 57.897949°		 →
↑
1 096 m
↓
↑
1 096 m
↓
S 63.352129°
W 57.919922°		 ← 1 095.83 m →
1 201 234 m²		 S 63.352129°
W 57.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339141845703125 y=0.729217529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339141845703125 × 214)
    floor (0.339141845703125 × 16384)
    floor (5556.5)     		tx = 5556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729217529296875 × 214)
    floor (0.729217529296875 × 16384)
    floor (11947.5)     		ty = 11947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5556 / 11947 ti = "14/5556/11947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5556/11947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5556 ÷ 214
    5556 ÷ 16384     		x = 0.339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11947 ÷ 214
    11947 ÷ 16384     		y = 0.72918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.32177734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01089334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.4583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44002446458649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01089334} λ = -1.01089334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44002446458649))-π/2
    2×atan(0.23692196241338)-π/2
    2×0.232632556007919-π/2
    0.465265112015839-1.57079632675     		φ = -1.10553121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01089334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10553121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.342272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5556 KachelY 11947 -1.01089334 -1.10553121 -57.919922 -63.342272
    Oben rechts KachelX + 1 5557 KachelY 11947 -1.01050984 -1.10553121 -57.897949 -63.342272
    Unten links KachelX 5556 KachelY + 1 11948 -1.01089334 -1.10570324 -57.919922 -63.352129
    Unten rechts KachelX + 1 5557 KachelY + 1 11948 -1.01050984 -1.10570324 -57.897949 -63.352129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10553121--1.10570324) × R
    0.000172029999999879 × 6371000     		dl = 1096.00312999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10553121--1.10570324) × R
    0.000172029999999879 × 6371000     		dr = 1096.00312999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01089334--1.01050984) × cos(-1.10553121) × R
    0.00038349999999987 × 0.448659752792414 × 6371000     		do = 1096.20072781265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01089334--1.01050984) × cos(-1.10570324) × R
    0.00038349999999987 × 0.44850600248744 × 6371000     		du = 1095.82507299814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10553121)-sin(-1.10570324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448659752792414-0.44850600248744)×R²
    abs(-1.01050984--1.01089334)×0.00015375030497361×R²
    0.00038349999999987×0.00015375030497361×6371000²
    0.00038349999999987×0.00015375030497361×40589641000000     		ar = 1201233.57232556m²