Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55552 / 83197
↖ ↑ ↗
← S 43.574422°
W 27.421875°		 ← 221.27 m → S 43.574422°
W 27.419128°		 →
↑
221.26 m
↓
↑
221.26 m
↓
S 43.576412°
W 27.421875°		 ← 221.27 m →
48 960 m²		 S 43.576412°
W 27.419128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423831939697266 y=0.634746551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423831939697266 × 217)
    floor (0.423831939697266 × 131072)
    floor (55552.5)     		tx = 55552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634746551513672 × 217)
    floor (0.634746551513672 × 131072)
    floor (83197.5)     		ty = 83197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55552 / 83197 ti = "17/55552/83197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55552/83197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55552 ÷ 217
    55552 ÷ 131072     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83197 ÷ 217
    83197 ÷ 131072     		y = 0.634742736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634742736816406 × 2 - 1) × π
    -0.269485473632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.846613584189812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846613584189812))-π/2
    2×atan(0.428864790157611)-π/2
    2×0.405139599918698-π/2
    0.810279199837396-1.57079632675     		φ = -0.76051713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76051713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.574422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55552 KachelY 83197 -0.47860201 -0.76051713 -27.421875 -43.574422
    Oben rechts KachelX + 1 55553 KachelY 83197 -0.47855407 -0.76051713 -27.419128 -43.574422
    Unten links KachelX 55552 KachelY + 1 83198 -0.47860201 -0.76055186 -27.421875 -43.576412
    Unten rechts KachelX + 1 55553 KachelY + 1 83198 -0.47855407 -0.76055186 -27.419128 -43.576412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76051713--0.76055186) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dl = 221.264829999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76051713--0.76055186) × R
    3.47299999999828e-05 × 6371000     		dr = 221.264829999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47855407) × cos(-0.76051713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.724479651890808 × 6371000     		do = 221.274733793803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47855407) × cos(-0.76055186) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.724455712197299 × 6371000     		du = 221.267421995198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76051713)-sin(-0.76055186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724479651890808-0.724455712197299)×R²
    abs(-0.47855407--0.47860201)×2.39396935082237e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39396935082237e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39396935082237e-05×40589641000000     		ar = 48959.5074390122m²