Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55552 / 44284
↖ ↑ ↗
← N 50.296358°
W 27.421875°		 ← 195.11 m → N 50.296358°
W 27.419128°		 →
↑
195.08 m
↓
↑
195.08 m
↓
N 50.294604°
W 27.421875°		 ← 195.12 m →
38 063 m²		 N 50.294604°
W 27.419128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423831939697266 y=0.337863922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423831939697266 × 217)
    floor (0.423831939697266 × 131072)
    floor (55552.5)     		tx = 55552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337863922119141 × 217)
    floor (0.337863922119141 × 131072)
    floor (44284.5)     		ty = 44284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55552 / 44284 ti = "17/55552/44284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55552/44284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55552 ÷ 217
    55552 ÷ 131072     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44284 ÷ 217
    44284 ÷ 131072     		y = 0.337860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337860107421875 × 2 - 1) × π
    0.32427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01875499072543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01875499072543))-π/2
    2×atan(2.76974425916393)-π/2
    2×1.2243166880032-π/2
    2.44863337600641-1.57079632675     		φ = 0.87783705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87783705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.296358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55552 KachelY 44284 -0.47860201 0.87783705 -27.421875 50.296358
    Oben rechts KachelX + 1 55553 KachelY 44284 -0.47855407 0.87783705 -27.419128 50.296358
    Unten links KachelX 55552 KachelY + 1 44285 -0.47860201 0.87780643 -27.421875 50.294604
    Unten rechts KachelX + 1 55553 KachelY + 1 44285 -0.47855407 0.87780643 -27.419128 50.294604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87783705-0.87780643) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dl = 195.08001999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87783705-0.87780643) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dr = 195.08001999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47855407) × cos(0.87783705) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638816722148531 × 6371000     		do = 195.111070086687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47855407) × cos(0.87780643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638840279620135 × 6371000     		du = 195.118265144885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87783705)-sin(0.87780643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638816722148531-0.638840279620135)×R²
    abs(-0.47855407--0.47860201)×2.35574716039855e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35574716039855e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35574716039855e-05×40589641000000     		ar = 38062.9732637265m²