Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55551 / 44515
↖ ↑ ↗
← N 49.889326°
W 27.424621°		 ← 196.73 m → N 49.889326°
W 27.421875°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
N 49.887557°
W 27.424621°		 ← 196.74 m →
38 706 m²		 N 49.887557°
W 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423824310302734 y=0.339626312255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423824310302734 × 217)
    floor (0.423824310302734 × 131072)
    floor (55551.5)     		tx = 55551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339626312255859 × 217)
    floor (0.339626312255859 × 131072)
    floor (44515.5)     		ty = 44515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55551 / 44515 ti = "17/55551/44515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55551/44515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55551 ÷ 217
    55551 ÷ 131072     		x = 0.423820495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44515 ÷ 217
    44515 ÷ 131072     		y = 0.339622497558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423820495605469 × 2 - 1) × π
    -0.152359008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.47864994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339622497558594 × 2 - 1) × π
    0.320755004882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0076815669132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47864994} λ = -0.47864994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0076815669132))-π/2
    2×atan(2.7392428960652)-π/2
    2×1.22076466439752-π/2
    2.44152932879503-1.57079632675     		φ = 0.87073300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47864994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.424621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87073300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.889326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55551 KachelY 44515 -0.47864994 0.87073300 -27.424621 49.889326
    Oben rechts KachelX + 1 55552 KachelY 44515 -0.47860201 0.87073300 -27.421875 49.889326
    Unten links KachelX 55551 KachelY + 1 44516 -0.47864994 0.87070212 -27.424621 49.887557
    Unten rechts KachelX + 1 55552 KachelY + 1 44516 -0.47860201 0.87070212 -27.421875 49.887557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87073300-0.87070212) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dl = 196.736479999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87073300-0.87070212) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dr = 196.736479999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47864994--0.47860201) × cos(0.87073300) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644266120950234 × 6371000     		do = 196.734410553481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47864994--0.47860201) × cos(0.87070212) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64428973770996 × 6371000     		du = 196.741622215174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87073300)-sin(0.87070212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644266120950234-0.64428973770996)×R²
    abs(-0.47860201--0.47864994)×2.3616759726508e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3616759726508e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3616759726508e-05×40589641000000     		ar = 38705.5448286668m²