Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55551 / 43267
↖ ↑ ↗
← N 52.047423°
W 27.424621°		 ← 187.80 m → N 52.047423°
W 27.421875°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
N 52.045734°
W 27.424621°		 ← 187.81 m →
35 273 m²		 N 52.045734°
W 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423824310302734 y=0.330104827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423824310302734 × 217)
    floor (0.423824310302734 × 131072)
    floor (55551.5)     		tx = 55551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330104827880859 × 217)
    floor (0.330104827880859 × 131072)
    floor (43267.5)     		ty = 43267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55551 / 43267 ti = "17/55551/43267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55551/43267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55551 ÷ 217
    55551 ÷ 131072     		x = 0.423820495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43267 ÷ 217
    43267 ÷ 131072     		y = 0.330101013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423820495605469 × 2 - 1) × π
    -0.152359008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.47864994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330101013183594 × 2 - 1) × π
    0.339797973632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.06750681763903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47864994} λ = -0.47864994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06750681763903))-π/2
    2×atan(2.9081199806453)-π/2
    2×1.23959761479046-π/2
    2.47919522958093-1.57079632675     		φ = 0.90839890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47864994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.424621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90839890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.047423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55551 KachelY 43267 -0.47864994 0.90839890 -27.424621 52.047423
    Oben rechts KachelX + 1 55552 KachelY 43267 -0.47860201 0.90839890 -27.421875 52.047423
    Unten links KachelX 55551 KachelY + 1 43268 -0.47864994 0.90836942 -27.424621 52.045734
    Unten rechts KachelX + 1 55552 KachelY + 1 43268 -0.47860201 0.90836942 -27.421875 52.045734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90839890-0.90836942) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90839890-0.90836942) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47864994--0.47860201) × cos(0.90839890) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615009036711394 × 6371000     		do = 187.800407918433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47864994--0.47860201) × cos(0.90836942) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615032282015511 × 6371000     		du = 187.807506151686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90839890)-sin(0.90836942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615009036711394-0.615032282015511)×R²
    abs(-0.47860201--0.47864994)×2.32453041174585e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32453041174585e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32453041174585e-05×40589641000000     		ar = 35272.7908253112m²