Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55550 / 44518
↖ ↑ ↗
← N 49.884017°
W 27.427368°		 ← 196.80 m → N 49.884017°
W 27.424621°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
N 49.882248°
W 27.427368°		 ← 196.80 m →
38 718 m²		 N 49.882248°
W 27.424621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423816680908203 y=0.339649200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423816680908203 × 217)
    floor (0.423816680908203 × 131072)
    floor (55550.5)     		tx = 55550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339649200439453 × 217)
    floor (0.339649200439453 × 131072)
    floor (44518.5)     		ty = 44518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55550 / 44518 ti = "17/55550/44518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55550/44518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55550 ÷ 217
    55550 ÷ 131072     		x = 0.423812866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44518 ÷ 217
    44518 ÷ 131072     		y = 0.339645385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423812866210938 × 2 - 1) × π
    -0.152374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47869788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339645385742188 × 2 - 1) × π
    0.320709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00753775621434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47869788} λ = -0.47869788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00753775621434))-π/2
    2×atan(2.73884899195446)-π/2
    2×1.22071833566942-π/2
    2.44143667133883-1.57079632675     		φ = 0.87064034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47869788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.427368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87064034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.884017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55550 KachelY 44518 -0.47869788 0.87064034 -27.427368 49.884017
    Oben rechts KachelX + 1 55551 KachelY 44518 -0.47864994 0.87064034 -27.424621 49.884017
    Unten links KachelX 55550 KachelY + 1 44519 -0.47869788 0.87060946 -27.427368 49.882248
    Unten rechts KachelX + 1 55551 KachelY + 1 44519 -0.47864994 0.87060946 -27.424621 49.882248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87064034-0.87060946) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dl = 196.736480000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87064034-0.87060946) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dr = 196.736480000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47869788--0.47864994) × cos(0.87064034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64433698468109 × 6371000     		do = 196.797100355689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47869788--0.47864994) × cos(0.87060946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644360599597216 × 6371000     		du = 196.804312958922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87064034)-sin(0.87060946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64433698468109-0.644360599597216)×R²
    abs(-0.47864994--0.47869788)×2.36149161263466e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36149161263466e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36149161263466e-05×40589641000000     		ar = 38717.8782923865m²