Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55550 / 43242
↖ ↑ ↗
← N 52.089633°
W 27.427368°		 ← 187.66 m → N 52.089633°
W 27.424621°		 →
↑
187.69 m
↓
↑
187.69 m
↓
N 52.087945°
W 27.427368°		 ← 187.67 m →
35 223 m²		 N 52.087945°
W 27.424621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423816680908203 y=0.329914093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423816680908203 × 217)
    floor (0.423816680908203 × 131072)
    floor (55550.5)     		tx = 55550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329914093017578 × 217)
    floor (0.329914093017578 × 131072)
    floor (43242.5)     		ty = 43242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55550 / 43242 ti = "17/55550/43242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55550/43242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55550 ÷ 217
    55550 ÷ 131072     		x = 0.423812866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43242 ÷ 217
    43242 ÷ 131072     		y = 0.329910278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423812866210938 × 2 - 1) × π
    -0.152374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47869788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329910278320312 × 2 - 1) × π
    0.340179443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06870524012953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47869788} λ = -0.47869788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06870524012953))-π/2
    2×atan(2.91160722621457)-π/2
    2×1.23996596101918-π/2
    2.47993192203836-1.57079632675     		φ = 0.90913560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47869788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.427368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90913560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.089633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55550 KachelY 43242 -0.47869788 0.90913560 -27.427368 52.089633
    Oben rechts KachelX + 1 55551 KachelY 43242 -0.47864994 0.90913560 -27.424621 52.089633
    Unten links KachelX 55550 KachelY + 1 43243 -0.47869788 0.90910614 -27.427368 52.087945
    Unten rechts KachelX + 1 55551 KachelY + 1 43243 -0.47864994 0.90910614 -27.424621 52.087945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90913560-0.90910614) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dl = 187.689660000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90913560-0.90910614) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dr = 187.689660000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47869788--0.47864994) × cos(0.90913560) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614427967144895 × 6371000     		do = 187.662116542019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47869788--0.47864994) × cos(0.90910614) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614451210020574 × 6371000     		du = 187.669215514523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90913560)-sin(0.90910614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614427967144895-0.614451210020574)×R²
    abs(-0.47864994--0.47869788)×2.32428756791192e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32428756791192e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32428756791192e-05×40589641000000     		ar = 35222.9050531953m²