Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5555 / 3597
↖ ↑ ↗
← N 80.154322°
W118.970947°		 ← 208.88 m → N 80.154322°
W118.959961°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
N 80.152443°
W118.970947°		 ← 208.92 m →
43 641 m²		 N 80.152443°
W118.959961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169540405273438 y=0.109786987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169540405273438 × 215)
    floor (0.169540405273438 × 32768)
    floor (5555.5)     		tx = 5555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109786987304688 × 215)
    floor (0.109786987304688 × 32768)
    floor (3597.5)     		ty = 3597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5555 / 3597 ti = "15/5555/3597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5555/3597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5555 ÷ 215
    5555 ÷ 32768     		x = 0.169525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3597 ÷ 215
    3597 ÷ 32768     		y = 0.109771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.66094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07643474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109771728515625 × 2 - 1) × π
    0.78045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45187654176663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07643474} λ = -2.07643474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45187654176663))-π/2
    2×atan(11.6101131522712)-π/2
    2×1.48487657387136-π/2
    2.96975314774272-1.57079632675     		φ = 1.39895682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07643474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39895682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.154322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5555 KachelY 3597 -2.07643474 1.39895682 -118.970947 80.154322
    Oben rechts KachelX + 1 5556 KachelY 3597 -2.07624300 1.39895682 -118.959961 80.154322
    Unten links KachelX 5555 KachelY + 1 3598 -2.07643474 1.39892403 -118.970947 80.152443
    Unten rechts KachelX + 1 5556 KachelY + 1 3598 -2.07624300 1.39892403 -118.959961 80.152443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39895682-1.39892403) × R
    3.27899999998937e-05 × 6371000     		dl = 208.905089999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39895682-1.39892403) × R
    3.27899999998937e-05 × 6371000     		dr = 208.905089999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07643474--2.07624300) × cos(1.39895682) × R
    0.000191739999999996 × 0.170995051681924 × 6371000     		do = 208.883372595669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07643474--2.07624300) × cos(1.39892403) × R
    0.000191739999999996 × 0.171027358655183 × 6371000     		du = 208.922838003975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39895682)-sin(1.39892403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170995051681924-0.171027358655183)×R²
    abs(-2.07624300--2.07643474)×3.2306973259677e-05×R²
    0.000191739999999996×3.2306973259677e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.2306973259677e-05×40589641000000     		ar = 43640.9220176633m²