Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55549 / 44516
↖ ↑ ↗
← N 49.887557°
W 27.430115°		 ← 196.78 m → N 49.887557°
W 27.427368°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
N 49.885787°
W 27.430115°		 ← 196.79 m →
38 728 m²		 N 49.885787°
W 27.427368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423809051513672 y=0.339633941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423809051513672 × 217)
    floor (0.423809051513672 × 131072)
    floor (55549.5)     		tx = 55549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339633941650391 × 217)
    floor (0.339633941650391 × 131072)
    floor (44516.5)     		ty = 44516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55549 / 44516 ti = "17/55549/44516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55549/44516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55549 ÷ 217
    55549 ÷ 131072     		x = 0.423805236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44516 ÷ 217
    44516 ÷ 131072     		y = 0.339630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423805236816406 × 2 - 1) × π
    -0.152389526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.47874582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339630126953125 × 2 - 1) × π
    0.32073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00763363001358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47874582} λ = -0.47874582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00763363001358))-π/2
    2×atan(2.73911158840072)-π/2
    2×1.2207492220543-π/2
    2.4414984441086-1.57079632675     		φ = 0.87070212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47874582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.430115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87070212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.887557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55549 KachelY 44516 -0.47874582 0.87070212 -27.430115 49.887557
    Oben rechts KachelX + 1 55550 KachelY 44516 -0.47869788 0.87070212 -27.427368 49.887557
    Unten links KachelX 55549 KachelY + 1 44517 -0.47874582 0.87067123 -27.430115 49.885787
    Unten rechts KachelX + 1 55550 KachelY + 1 44517 -0.47869788 0.87067123 -27.427368 49.885787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87070212-0.87067123) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87070212-0.87067123) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47874582--0.47869788) × cos(0.87070212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64428973770996 × 6371000     		do = 196.782669914341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47874582--0.47869788) × cos(0.87067123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644313361502924 × 6371000     		du = 196.789885228789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87070212)-sin(0.87067123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64428973770996-0.644313361502924)×R²
    abs(-0.47869788--0.47874582)×2.36237929641669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36237929641669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36237929641669e-05×40589641000000     		ar = 38727.5768185805m²