Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55549 / 42929
↖ ↑ ↗
← N 52.614722°
W 27.430115°		 ← 185.45 m → N 52.614722°
W 27.427368°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
N 52.613055°
W 27.430115°		 ← 185.45 m →
34 382 m²		 N 52.613055°
W 27.427368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423809051513672 y=0.327526092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423809051513672 × 217)
    floor (0.423809051513672 × 131072)
    floor (55549.5)     		tx = 55549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327526092529297 × 217)
    floor (0.327526092529297 × 131072)
    floor (42929.5)     		ty = 42929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55549 / 42929 ti = "17/55549/42929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55549/42929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55549 ÷ 217
    55549 ÷ 131072     		x = 0.423805236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42929 ÷ 217
    42929 ÷ 131072     		y = 0.327522277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423805236816406 × 2 - 1) × π
    -0.152389526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.47874582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327522277832031 × 2 - 1) × π
    0.344955444335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08370948971061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47874582} λ = -0.47874582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08370948971061))-π/2
    2×atan(2.95562309449323)-π/2
    2×1.24454823574147-π/2
    2.48909647148295-1.57079632675     		φ = 0.91830014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47874582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.430115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91830014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.614722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55549 KachelY 42929 -0.47874582 0.91830014 -27.430115 52.614722
    Oben rechts KachelX + 1 55550 KachelY 42929 -0.47869788 0.91830014 -27.427368 52.614722
    Unten links KachelX 55549 KachelY + 1 42930 -0.47874582 0.91827104 -27.430115 52.613055
    Unten rechts KachelX + 1 55550 KachelY + 1 42930 -0.47869788 0.91827104 -27.427368 52.613055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91830014-0.91827104) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dl = 185.396100000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91830014-0.91827104) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dr = 185.396100000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47874582--0.47869788) × cos(0.91830014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607171692096257 × 6371000     		do = 185.44586336543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47874582--0.47869788) × cos(0.91827104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607194813845428 × 6371000     		du = 185.45292534278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91830014)-sin(0.91827104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607171692096257-0.607194813845428)×R²
    abs(-0.47869788--0.47874582)×2.31217491705182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31217491705182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31217491705182e-05×40589641000000     		ar = 34381.5944631579m²