Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55548 / 15531
↖ ↑ ↗
← N 79.602764°
W 27.432861°		 ← 55.11 m → N 79.602764°
W 27.430115°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.602268°
W 27.432861°		 ← 55.11 m →
3 037 m²		 N 79.602268°
W 27.430115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423801422119141 y=0.118495941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423801422119141 × 217)
    floor (0.423801422119141 × 131072)
    floor (55548.5)     		tx = 55548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118495941162109 × 217)
    floor (0.118495941162109 × 131072)
    floor (15531.5)     		ty = 15531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55548 / 15531 ti = "17/55548/15531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55548/15531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55548 ÷ 217
    55548 ÷ 131072     		x = 0.423797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15531 ÷ 217
    15531 ÷ 131072     		y = 0.118492126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.15240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47879375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118492126464844 × 2 - 1) × π
    0.763015747070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.39708466550091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47879375} λ = -0.47879375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39708466550091))-π/2
    2×atan(10.9910869327147)-π/2
    2×1.48006332290642-π/2
    2.96012664581284-1.57079632675     		φ = 1.38933032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47879375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.432861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38933032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.602764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55548 KachelY 15531 -0.47879375 1.38933032 -27.432861 79.602764
    Oben rechts KachelX + 1 55549 KachelY 15531 -0.47874582 1.38933032 -27.430115 79.602764
    Unten links KachelX 55548 KachelY + 1 15532 -0.47879375 1.38932167 -27.432861 79.602268
    Unten rechts KachelX + 1 55549 KachelY + 1 15532 -0.47874582 1.38932167 -27.430115 79.602268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38933032-1.38932167) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38933032-1.38932167) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47879375--0.47874582) × cos(1.38933032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180471702064944 × 6371000     		do = 55.1092053001403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47879375--0.47874582) × cos(1.38932167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180480210026724 × 6371000     		du = 55.1118033086206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38933032)-sin(1.38932167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180471702064944-0.180480210026724)×R²
    abs(-0.47874582--0.47879375)×8.50796178003543e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.50796178003543e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.50796178003543e-06×40589641000000     		ar = 3037.09304822652m²