Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55547 / 42926
↖ ↑ ↗
← N 52.619725°
W 27.435608°		 ← 185.42 m → N 52.619725°
W 27.432861°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
N 52.618058°
W 27.435608°		 ← 185.43 m →
34 389 m²		 N 52.618058°
W 27.432861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423793792724609 y=0.327503204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423793792724609 × 217)
    floor (0.423793792724609 × 131072)
    floor (55547.5)     		tx = 55547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327503204345703 × 217)
    floor (0.327503204345703 × 131072)
    floor (42926.5)     		ty = 42926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55547 / 42926 ti = "17/55547/42926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55547/42926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55547 ÷ 217
    55547 ÷ 131072     		x = 0.423789978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42926 ÷ 217
    42926 ÷ 131072     		y = 0.327499389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423789978027344 × 2 - 1) × π
    -0.152420043945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.47884169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327499389648438 × 2 - 1) × π
    0.345001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08385330040947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47884169} λ = -0.47884169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08385330040947))-π/2
    2×atan(2.95604817528087)-π/2
    2×1.24459189213953-π/2
    2.48918378427906-1.57079632675     		φ = 0.91838746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47884169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.435608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91838746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.619725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55547 KachelY 42926 -0.47884169 0.91838746 -27.435608 52.619725
    Oben rechts KachelX + 1 55548 KachelY 42926 -0.47879375 0.91838746 -27.432861 52.619725
    Unten links KachelX 55547 KachelY + 1 42927 -0.47884169 0.91835835 -27.435608 52.618058
    Unten rechts KachelX + 1 55548 KachelY + 1 42927 -0.47879375 0.91835835 -27.432861 52.618058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91838746-0.91835835) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91838746-0.91835835) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47884169--0.47879375) × cos(0.91838746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607102307871396 × 6371000     		do = 185.424671637207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47884169--0.47879375) × cos(0.91835835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607125439109399 × 6371000     		du = 185.431736512691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91838746)-sin(0.91835835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607102307871396-0.607125439109399)×R²
    abs(-0.47879375--0.47884169)×2.31312380023496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31312380023496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31312380023496e-05×40589641000000     		ar = 34389.4794988234m²