Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 55547 / 22797
↖ ↑ ↗
← N 47.942107°
E125.128784°		 ← 409.20 m → N 47.942107°
E125.134278°		 →
↑
409.15 m
↓
↑
409.15 m
↓
N 47.938427°
E125.128784°		 ← 409.23 m →
167 427 m²		 N 47.938427°
E125.134278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.847587585449219 y=0.347862243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.847587585449219 × 216)
    floor (0.847587585449219 × 65536)
    floor (55547.5)     		tx = 55547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347862243652344 × 216)
    floor (0.347862243652344 × 65536)
    floor (22797.5)     		ty = 22797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 55547 / 22797 ti = "16/55547/22797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/55547/22797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55547 ÷ 216
    55547 ÷ 65536     		x = 0.847579956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22797 ÷ 216
    22797 ÷ 65536     		y = 0.347854614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.847579956054688 × 2 - 1) × π
    0.695159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.18390927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347854614257812 × 2 - 1) × π
    0.304290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.95595765222316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.18390927} λ = 2.18390927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95595765222316))-π/2
    2×atan(2.6011603975785)-π/2
    2×1.20377197063012-π/2
    2.40754394126025-1.57079632675     		φ = 0.83674761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.18390927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 125.128784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83674761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.942107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55547 KachelY 22797 2.18390927 0.83674761 125.128784 47.942107
    Oben rechts KachelX + 1 55548 KachelY 22797 2.18400515 0.83674761 125.134278 47.942107
    Unten links KachelX 55547 KachelY + 1 22798 2.18390927 0.83668339 125.128784 47.938427
    Unten rechts KachelX + 1 55548 KachelY + 1 22798 2.18400515 0.83668339 125.134278 47.938427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83674761-0.83668339) × R
    6.42199999999482e-05 × 6371000     		dl = 409.14561999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83674761-0.83668339) × R
    6.42199999999482e-05 × 6371000     		dr = 409.14561999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.18390927-2.18400515) × cos(0.83674761) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.669881161187139 × 6371000     		do = 409.197898735014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.18390927-2.18400515) × cos(0.83668339) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.669928841122276 × 6371000     		du = 409.227024093959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83674761)-sin(0.83668339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669881161187139-0.669928841122276)×R²
    abs(2.18400515-2.18390927)×4.76799351371016e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76799351371016e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76799351371016e-05×40589641000000     		ar = 167427.486294863m²