Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55545 / 43243
↖ ↑ ↗
← N 52.087945°
W 27.441101°		 ← 187.63 m → N 52.087945°
W 27.438355°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
N 52.086258°
W 27.441101°		 ← 187.64 m →
35 205 m²		 N 52.086258°
W 27.438355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423778533935547 y=0.329921722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423778533935547 × 217)
    floor (0.423778533935547 × 131072)
    floor (55545.5)     		tx = 55545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329921722412109 × 217)
    floor (0.329921722412109 × 131072)
    floor (43243.5)     		ty = 43243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55545 / 43243 ti = "17/55545/43243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55545/43243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55545 ÷ 217
    55545 ÷ 131072     		x = 0.423774719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43243 ÷ 217
    43243 ÷ 131072     		y = 0.329917907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423774719238281 × 2 - 1) × π
    -0.152450561523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47893756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329917907714844 × 2 - 1) × π
    0.340164184570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.06865730322991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47893756} λ = -0.47893756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06865730322991))-π/2
    2×atan(2.91146765613654)-π/2
    2×1.2399512338547-π/2
    2.47990246770941-1.57079632675     		φ = 0.90910614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47893756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.441101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90910614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.087945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55545 KachelY 43243 -0.47893756 0.90910614 -27.441101 52.087945
    Oben rechts KachelX + 1 55546 KachelY 43243 -0.47888963 0.90910614 -27.438355 52.087945
    Unten links KachelX 55545 KachelY + 1 43244 -0.47893756 0.90907669 -27.441101 52.086258
    Unten rechts KachelX + 1 55546 KachelY + 1 43244 -0.47888963 0.90907669 -27.438355 52.086258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90910614-0.90907669) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90910614-0.90907669) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47893756--0.47888963) × cos(0.90910614) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.614451210020574 × 6371000     		do = 187.630068827736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47893756--0.47888963) × cos(0.90907669) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.614474444473609 × 6371000     		du = 187.637163747481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90910614)-sin(0.90907669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614451210020574-0.614474444473609)×R²
    abs(-0.47888963--0.47893756)×2.32344530348705e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32344530348705e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32344530348705e-05×40589641000000     		ar = 35204.9355103655m²