Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55544 / 13208
↖ ↑ ↗
← N 80.693342°
W 27.443848°		 ← 49.39 m → N 80.693342°
W 27.441101°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.692898°
W 27.443848°		 ← 49.40 m →
2 439 m²		 N 80.692898°
W 27.441101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423770904541016 y=0.100772857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423770904541016 × 217)
    floor (0.423770904541016 × 131072)
    floor (55544.5)     		tx = 55544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100772857666016 × 217)
    floor (0.100772857666016 × 131072)
    floor (13208.5)     		ty = 13208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55544 / 13208 ti = "17/55544/13208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55544/13208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55544 ÷ 217
    55544 ÷ 131072     		x = 0.42376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13208 ÷ 217
    13208 ÷ 131072     		y = 0.10076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.1524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47898550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10076904296875 × 2 - 1) × π
    0.7984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5084420833183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47898550} λ = -0.47898550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5084420833183))-π/2
    2×atan(12.2857749296252)-π/2
    2×1.48958041947607-π/2
    2.97916083895214-1.57079632675     		φ = 1.40836451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47898550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.443848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40836451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.693342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55544 KachelY 13208 -0.47898550 1.40836451 -27.443848 80.693342
    Oben rechts KachelX + 1 55545 KachelY 13208 -0.47893756 1.40836451 -27.441101 80.693342
    Unten links KachelX 55544 KachelY + 1 13209 -0.47898550 1.40835676 -27.443848 80.692898
    Unten rechts KachelX + 1 55545 KachelY + 1 13209 -0.47893756 1.40835676 -27.441101 80.692898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40836451-1.40835676) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40836451-1.40835676) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47898550--0.47893756) × cos(1.40836451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.161718489053672 × 6371000     		do = 49.3929891909244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47898550--0.47893756) × cos(1.40835676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.161726137035038 × 6371000     		du = 49.3953250812926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40836451)-sin(1.40835676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161718489053672-0.161726137035038)×R²
    abs(-0.47893756--0.47898550)×7.64798136607125e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.64798136607125e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.64798136607125e-06×40589641000000     		ar = 2438.84885716861m²