Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55543 / 17855
↖ ↑ ↗
← N 78.385408°
W 27.446594°		 ← 61.49 m → N 78.385408°
W 27.443848°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.384855°
W 27.446594°		 ← 61.49 m →
3 781 m²		 N 78.384855°
W 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423763275146484 y=0.136226654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423763275146484 × 217)
    floor (0.423763275146484 × 131072)
    floor (55543.5)     		tx = 55543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136226654052734 × 217)
    floor (0.136226654052734 × 131072)
    floor (17855.5)     		ty = 17855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55543 / 17855 ti = "17/55543/17855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55543/17855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55543 ÷ 217
    55543 ÷ 131072     		x = 0.423759460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17855 ÷ 217
    17855 ÷ 131072     		y = 0.136222839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423759460449219 × 2 - 1) × π
    -0.152481079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.47903344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136222839355469 × 2 - 1) × π
    0.727554321289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.2856793107839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47903344} λ = -0.47903344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2856793107839))-π/2
    2×atan(9.83236318623799)-π/2
    2×1.46943989213708-π/2
    2.93887978427416-1.57079632675     		φ = 1.36808346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47903344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.446594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36808346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.385408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55543 KachelY 17855 -0.47903344 1.36808346 -27.446594 78.385408
    Oben rechts KachelX + 1 55544 KachelY 17855 -0.47898550 1.36808346 -27.443848 78.385408
    Unten links KachelX 55543 KachelY + 1 17856 -0.47903344 1.36807381 -27.446594 78.384855
    Unten rechts KachelX + 1 55544 KachelY + 1 17856 -0.47898550 1.36807381 -27.443848 78.384855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36808346-1.36807381) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dl = 61.4801499998228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36808346-1.36807381) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dr = 61.4801499998228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47903344--0.47898550) × cos(1.36808346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201327386542034 × 6371000     		do = 61.4905660168266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47903344--0.47898550) × cos(1.36807381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201336838939343 × 6371000     		du = 61.4934530222694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36808346)-sin(1.36807381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201327386542034-0.201336838939343)×R²
    abs(-0.47898550--0.47903344)×9.45239730879011e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.45239730879011e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.45239730879011e-06×40589641000000     		ar = 3780.53796910819m²