Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55543 / 13207
↖ ↑ ↗
← N 80.693786°
W 27.446594°		 ← 49.39 m → N 80.693786°
W 27.443848°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.693342°
W 27.446594°		 ← 49.39 m →
2 439 m²		 N 80.693342°
W 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423763275146484 y=0.100765228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423763275146484 × 217)
    floor (0.423763275146484 × 131072)
    floor (55543.5)     		tx = 55543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100765228271484 × 217)
    floor (0.100765228271484 × 131072)
    floor (13207.5)     		ty = 13207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55543 / 13207 ti = "17/55543/13207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55543/13207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55543 ÷ 217
    55543 ÷ 131072     		x = 0.423759460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13207 ÷ 217
    13207 ÷ 131072     		y = 0.100761413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423759460449219 × 2 - 1) × π
    -0.152481079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.47903344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100761413574219 × 2 - 1) × π
    0.798477172851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.50849002021792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47903344} λ = -0.47903344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50849002021792))-π/2
    2×atan(12.286363885701)-π/2
    2×1.48958429552582-π/2
    2.97916859105165-1.57079632675     		φ = 1.40837226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47903344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.446594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40837226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.693786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55543 KachelY 13207 -0.47903344 1.40837226 -27.446594 80.693786
    Oben rechts KachelX + 1 55544 KachelY 13207 -0.47898550 1.40837226 -27.443848 80.693786
    Unten links KachelX 55543 KachelY + 1 13208 -0.47903344 1.40836451 -27.446594 80.693342
    Unten rechts KachelX + 1 55544 KachelY + 1 13208 -0.47898550 1.40836451 -27.443848 80.693342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40837226-1.40836451) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40837226-1.40836451) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47903344--0.47898550) × cos(1.40837226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161710841062593 × 6371000     		do = 49.3906532975323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47903344--0.47898550) × cos(1.40836451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161718489053672 × 6371000     		du = 49.3929891908672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40837226)-sin(1.40836451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161710841062593-0.161718489053672)×R²
    abs(-0.47898550--0.47903344)×7.64799107924596e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.64799107924596e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.64799107924596e-06×40589641000000     		ar = 2438.73352186817m²