Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55540 / 17860
↖ ↑ ↗
← N 78.382643°
W 27.454834°		 ← 61.51 m → N 78.382643°
W 27.452087°		 →
↑
61.54 m
↓
↑
61.54 m
↓
N 78.382090°
W 27.454834°		 ← 61.51 m →
3 785 m²		 N 78.382090°
W 27.452087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423740386962891 y=0.136264801025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423740386962891 × 217)
    floor (0.423740386962891 × 131072)
    floor (55540.5)     		tx = 55540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136264801025391 × 217)
    floor (0.136264801025391 × 131072)
    floor (17860.5)     		ty = 17860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55540 / 17860 ti = "17/55540/17860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55540/17860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55540 ÷ 217
    55540 ÷ 131072     		x = 0.423736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17860 ÷ 217
    17860 ÷ 131072     		y = 0.136260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136260986328125 × 2 - 1) × π
    0.72747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2854396262858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47917725} λ = -0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2854396262858))-π/2
    2×atan(9.83000680360803)-π/2
    2×1.46941576177748-π/2
    2.93883152355496-1.57079632675     		φ = 1.36803520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36803520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.382643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55540 KachelY 17860 -0.47917725 1.36803520 -27.454834 78.382643
    Oben rechts KachelX + 1 55541 KachelY 17860 -0.47912931 1.36803520 -27.452087 78.382643
    Unten links KachelX 55540 KachelY + 1 17861 -0.47917725 1.36802554 -27.454834 78.382090
    Unten rechts KachelX + 1 55541 KachelY + 1 17861 -0.47912931 1.36802554 -27.452087 78.382090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36803520-1.36802554) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dl = 61.5438599994356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36803520-1.36802554) × R
    9.65999999991141e-06 × 6371000     		dr = 61.5438599994356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47917725--0.47912931) × cos(1.36803520) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201374658136223 × 6371000     		do = 61.5050039785337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47917725--0.47912931) × cos(1.36802554) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201384120234882 × 6371000     		du = 61.5078939470186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36803520)-sin(1.36802554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201374658136223-0.201384120234882)×R²
    abs(-0.47912931--0.47917725)×9.46209865901326e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.46209865901326e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.46209865901326e-06×40589641000000     		ar = 3785.34428399794m²