Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5554 / 11990
↖ ↑ ↗
← S 63.763065°
W 57.963867°		 ← 1 080.13 m → S 63.763065°
W 57.941894°		 →
↑
1 079.95 m
↓
↑
1 079.95 m
↓
S 63.772777°
W 57.963867°		 ← 1 079.76 m →
1 166 289 m²		 S 63.772777°
W 57.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339019775390625 y=0.731842041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339019775390625 × 214)
    floor (0.339019775390625 × 16384)
    floor (5554.5)     		tx = 5554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731842041015625 × 214)
    floor (0.731842041015625 × 16384)
    floor (11990.5)     		ty = 11990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5554 / 11990 ti = "14/5554/11990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5554/11990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5554 ÷ 214
    5554 ÷ 16384     		x = 0.3389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11990 ÷ 214
    11990 ÷ 16384     		y = 0.7318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01166033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45651475805579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01166033} λ = -1.01166033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45651475805579))-π/2
    2×atan(0.233047086452189)-π/2
    2×0.228960449076661-π/2
    0.457920898153323-1.57079632675     		φ = -1.11287543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01166033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11287543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.763065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5554 KachelY 11990 -1.01166033 -1.11287543 -57.963867 -63.763065
    Oben rechts KachelX + 1 5555 KachelY 11990 -1.01127683 -1.11287543 -57.941894 -63.763065
    Unten links KachelX 5554 KachelY + 1 11991 -1.01166033 -1.11304494 -57.963867 -63.772777
    Unten rechts KachelX + 1 5555 KachelY + 1 11991 -1.01127683 -1.11304494 -57.941894 -63.772777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11287543--1.11304494) × R
    0.000169509999999873 × 6371000     		dl = 1079.94820999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11287543--1.11304494) × R
    0.000169509999999873 × 6371000     		dr = 1079.94820999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01166033--1.01127683) × cos(-1.11287543) × R
    0.000383500000000092 × 0.442084163167885 × 6371000     		do = 1080.13473105885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01166033--1.01127683) × cos(-1.11304494) × R
    0.000383500000000092 × 0.44193211082672 × 6371000     		du = 1079.7632248428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11287543)-sin(-1.11304494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442084163167885-0.44193211082672)×R²
    abs(-1.01127683--1.01166033)×0.000152052341165054×R²
    0.000383500000000092×0.000152052341165054×6371000²
    0.000383500000000092×0.000152052341165054×40589641000000     		ar = 1166288.96842153m²