Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55539 / 44536
↖ ↑ ↗
← N 49.852152°
W 27.457581°		 ← 196.93 m → N 49.852152°
W 27.454834°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
N 49.850381°
W 27.457581°		 ← 196.93 m →
38 781 m²		 N 49.850381°
W 27.454834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423732757568359 y=0.339786529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423732757568359 × 217)
    floor (0.423732757568359 × 131072)
    floor (55539.5)     		tx = 55539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339786529541016 × 217)
    floor (0.339786529541016 × 131072)
    floor (44536.5)     		ty = 44536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55539 / 44536 ti = "17/55539/44536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55539/44536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55539 ÷ 217
    55539 ÷ 131072     		x = 0.423728942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44536 ÷ 217
    44536 ÷ 131072     		y = 0.33978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423728942871094 × 2 - 1) × π
    -0.152542114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.47922519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33978271484375 × 2 - 1) × π
    0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47922519} λ = -0.47922519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00667489202118))-π/2
    2×atan(2.73648675651958)-π/2
    2×1.22044025629126-π/2
    2.44088051258251-1.57079632675     		φ = 0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47922519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.457581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55539 KachelY 44536 -0.47922519 0.87008419 -27.457581 49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 55540 KachelY 44536 -0.47917725 0.87008419 -27.454834 49.852152
    Unten links KachelX 55539 KachelY + 1 44537 -0.47922519 0.87005328 -27.457581 49.850381
    Unten rechts KachelX + 1 55540 KachelY + 1 44537 -0.47917725 0.87005328 -27.454834 49.850381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87008419-0.87005328) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87008419-0.87005328) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47922519--0.47917725) × cos(0.87008419) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 196.926970868461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47922519--0.47917725) × cos(0.87005328) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644785822879002 × 6371000     		du = 196.934187094427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87008419)-sin(0.87005328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.644785822879002)×R²
    abs(-0.47917725--0.47922519)×2.36267773844334e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36267773844334e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36267773844334e-05×40589641000000     		ar = 38781.068257868m²