Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55537 / 44535
↖ ↑ ↗
← N 49.853922°
W 27.463074°		 ← 196.92 m → N 49.853922°
W 27.460327°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
N 49.852152°
W 27.463074°		 ← 196.93 m →
38 767 m²		 N 49.852152°
W 27.460327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423717498779297 y=0.339778900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423717498779297 × 217)
    floor (0.423717498779297 × 131072)
    floor (55537.5)     		tx = 55537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339778900146484 × 217)
    floor (0.339778900146484 × 131072)
    floor (44535.5)     		ty = 44535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55537 / 44535 ti = "17/55537/44535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55537/44535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55537 ÷ 217
    55537 ÷ 131072     		x = 0.423713684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44535 ÷ 217
    44535 ÷ 131072     		y = 0.339775085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423713684082031 × 2 - 1) × π
    -0.152572631835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47932106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339775085449219 × 2 - 1) × π
    0.320449829101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.0067228289208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47932106} λ = -0.47932106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0067228289208))-π/2
    2×atan(2.73661793835474)-π/2
    2×1.22045570995854-π/2
    2.44091141991708-1.57079632675     		φ = 0.87011509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47932106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.463074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87011509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.853922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55537 KachelY 44535 -0.47932106 0.87011509 -27.463074 49.853922
    Oben rechts KachelX + 1 55538 KachelY 44535 -0.47927312 0.87011509 -27.460327 49.853922
    Unten links KachelX 55537 KachelY + 1 44536 -0.47932106 0.87008419 -27.463074 49.852152
    Unten rechts KachelX + 1 55538 KachelY + 1 44536 -0.47927312 0.87008419 -27.460327 49.852152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87011509-0.87008419) × R
    3.08999999999449e-05 × 6371000     		dl = 196.863899999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87011509-0.87008419) × R
    3.08999999999449e-05 × 6371000     		dr = 196.863899999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47932106--0.47927312) × cos(0.87011509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644738576352241 × 6371000     		do = 196.919756789029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47932106--0.47927312) × cos(0.87008419) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644762196101618 × 6371000     		du = 196.926970868461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87011509)-sin(0.87008419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644738576352241-0.644762196101618)×R²
    abs(-0.47927312--0.47932106)×2.36197493768131e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36197493768131e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36197493768131e-05×40589641000000     		ar = 38767.10140747m²