Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55537 / 17845
↖ ↑ ↗
← N 78.390936°
W 27.463074°		 ← 61.46 m → N 78.390936°
W 27.460327°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.390384°
W 27.463074°		 ← 61.46 m →
3 775 m²		 N 78.390384°
W 27.460327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423717498779297 y=0.136150360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423717498779297 × 217)
    floor (0.423717498779297 × 131072)
    floor (55537.5)     		tx = 55537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136150360107422 × 217)
    floor (0.136150360107422 × 131072)
    floor (17845.5)     		ty = 17845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55537 / 17845 ti = "17/55537/17845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55537/17845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55537 ÷ 217
    55537 ÷ 131072     		x = 0.423713684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17845 ÷ 217
    17845 ÷ 131072     		y = 0.136146545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423713684082031 × 2 - 1) × π
    -0.152572631835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.47932106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136146545410156 × 2 - 1) × π
    0.727706909179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.2861586797801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47932106} λ = -0.47932106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2861586797801))-π/2
    2×atan(9.83707764620154)-π/2
    2×1.4694881358638-π/2
    2.93897627172761-1.57079632675     		φ = 1.36817994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47932106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.463074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36817994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.390936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55537 KachelY 17845 -0.47932106 1.36817994 -27.463074 78.390936
    Oben rechts KachelX + 1 55538 KachelY 17845 -0.47927312 1.36817994 -27.460327 78.390936
    Unten links KachelX 55537 KachelY + 1 17846 -0.47932106 1.36817030 -27.463074 78.390384
    Unten rechts KachelX + 1 55538 KachelY + 1 17846 -0.47927312 1.36817030 -27.460327 78.390384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36817994-1.36817030) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36817994-1.36817030) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47932106--0.47927312) × cos(1.36817994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201232881128814 × 6371000     		do = 61.4617016311309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47932106--0.47927312) × cos(1.36817030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201242323918111 × 6371000     		du = 61.4645857020395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36817994)-sin(1.36817030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201232881128814-0.201242323918111)×R²
    abs(-0.47927312--0.47932106)×9.44278929662645e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.44278929662645e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.44278929662645e-06×40589641000000     		ar = 3774.8474750588m²