Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55534 / 44241
↖ ↑ ↗
← N 50.371744°
W 27.471313°		 ← 194.80 m → N 50.371744°
W 27.468567°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 50.369992°
W 27.471313°		 ← 194.81 m →
37 953 m²		 N 50.369992°
W 27.468567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423694610595703 y=0.337535858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423694610595703 × 217)
    floor (0.423694610595703 × 131072)
    floor (55534.5)     		tx = 55534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337535858154297 × 217)
    floor (0.337535858154297 × 131072)
    floor (44241.5)     		ty = 44241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55534 / 44241 ti = "17/55534/44241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55534/44241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55534 ÷ 217
    55534 ÷ 131072     		x = 0.423690795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44241 ÷ 217
    44241 ÷ 131072     		y = 0.337532043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423690795898438 × 2 - 1) × π
    -0.152618408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47946487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337532043457031 × 2 - 1) × π
    0.324935913085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.0208162774091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47946487} λ = -0.47946487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0208162774091))-π/2
    2×atan(2.77545938435463)-π/2
    2×1.22497455822913-π/2
    2.44994911645825-1.57079632675     		φ = 0.87915279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47946487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.471313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87915279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.371744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55534 KachelY 44241 -0.47946487 0.87915279 -27.471313 50.371744
    Oben rechts KachelX + 1 55535 KachelY 44241 -0.47941693 0.87915279 -27.468567 50.371744
    Unten links KachelX 55534 KachelY + 1 44242 -0.47946487 0.87912221 -27.471313 50.369992
    Unten rechts KachelX + 1 55535 KachelY + 1 44242 -0.47941693 0.87912221 -27.468567 50.369992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87915279-0.87912221) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87915279-0.87912221) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47946487--0.47941693) × cos(0.87915279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637803893143745 × 6371000     		do = 194.801726038181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47946487--0.47941693) × cos(0.87912221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637827445524876 × 6371000     		du = 194.808919541617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87915279)-sin(0.87912221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637803893143745-0.637827445524876)×R²
    abs(-0.47941693--0.47946487)×2.35523811304983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35523811304983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35523811304983e-05×40589641000000     		ar = 37952.9820804884m²