Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55532 / 42980
↖ ↑ ↗
← N 52.529590°
W 27.476806°		 ← 185.77 m → N 52.529590°
W 27.474060°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
N 52.527919°
W 27.476806°		 ← 185.77 m →
34 512 m²		 N 52.527919°
W 27.474060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423679351806641 y=0.327915191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423679351806641 × 217)
    floor (0.423679351806641 × 131072)
    floor (55532.5)     		tx = 55532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327915191650391 × 217)
    floor (0.327915191650391 × 131072)
    floor (42980.5)     		ty = 42980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55532 / 42980 ti = "17/55532/42980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55532/42980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55532 ÷ 217
    55532 ÷ 131072     		x = 0.423675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42980 ÷ 217
    42980 ÷ 131072     		y = 0.327911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.15264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47956074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327911376953125 × 2 - 1) × π
    0.34417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08126470782999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47956074} λ = -0.47956074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08126470782999))-π/2
    2×atan(2.94840606633037)-π/2
    2×1.24380531349444-π/2
    2.48761062698889-1.57079632675     		φ = 0.91681430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47956074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.476806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91681430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.529590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55532 KachelY 42980 -0.47956074 0.91681430 -27.476806 52.529590
    Oben rechts KachelX + 1 55533 KachelY 42980 -0.47951281 0.91681430 -27.474060 52.529590
    Unten links KachelX 55532 KachelY + 1 42981 -0.47956074 0.91678514 -27.476806 52.527919
    Unten rechts KachelX + 1 55533 KachelY + 1 42981 -0.47951281 0.91678514 -27.474060 52.527919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91681430-0.91678514) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91681430-0.91678514) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47956074--0.47951281) × cos(0.91681430) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608351626301146 × 6371000     		do = 185.767487561018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47956074--0.47951281) × cos(0.91678514) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608374769390442 × 6371000     		du = 185.774554581746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91681430)-sin(0.91678514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608351626301146-0.608374769390442)×R²
    abs(-0.47951281--0.47956074)×2.31430892956297e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31430892956297e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31430892956297e-05×40589641000000     		ar = 34512.23563255m²