Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55529 / 42791
↖ ↑ ↗
← N 52.844253°
W 27.485046°		 ← 184.43 m → N 52.844253°
W 27.482300°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.842595°
W 27.485046°		 ← 184.44 m →
34 018 m²		 N 52.842595°
W 27.482300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423656463623047 y=0.326473236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423656463623047 × 217)
    floor (0.423656463623047 × 131072)
    floor (55529.5)     		tx = 55529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326473236083984 × 217)
    floor (0.326473236083984 × 131072)
    floor (42791.5)     		ty = 42791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55529 / 42791 ti = "17/55529/42791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55529/42791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55529 ÷ 217
    55529 ÷ 131072     		x = 0.423652648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42791 ÷ 217
    42791 ÷ 131072     		y = 0.326469421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423652648925781 × 2 - 1) × π
    -0.152694702148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.47970455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326469421386719 × 2 - 1) × π
    0.347061157226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.09032478185818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47970455} λ = -0.47970455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09032478185818))-π/2
    2×atan(2.97524021970812)-π/2
    2×1.24655127050908-π/2
    2.49310254101816-1.57079632675     		φ = 0.92230621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47970455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.485046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92230621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.844253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55529 KachelY 42791 -0.47970455 0.92230621 -27.485046 52.844253
    Oben rechts KachelX + 1 55530 KachelY 42791 -0.47965662 0.92230621 -27.482300 52.844253
    Unten links KachelX 55529 KachelY + 1 42792 -0.47970455 0.92227726 -27.485046 52.842595
    Unten rechts KachelX + 1 55530 KachelY + 1 42792 -0.47965662 0.92227726 -27.482300 52.842595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92230621-0.92227726) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92230621-0.92227726) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47970455--0.47965662) × cos(0.92230621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603983722799558 × 6371000     		do = 184.433695681143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47970455--0.47965662) × cos(0.92227726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604006795599517 × 6371000     		du = 184.440741238177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92230621)-sin(0.92227726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603983722799558-0.604006795599517)×R²
    abs(-0.47965662--0.47970455)×2.30727999591673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30727999591673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30727999591673e-05×40589641000000     		ar = 34017.6835718413m²