Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55527 / 42758
↖ ↑ ↗
← N 52.898962°
W 27.490540°		 ← 184.24 m → N 52.898962°
W 27.487793°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
N 52.897306°
W 27.490540°		 ← 184.25 m →
33 935 m²		 N 52.897306°
W 27.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423641204833984 y=0.326221466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423641204833984 × 217)
    floor (0.423641204833984 × 131072)
    floor (55527.5)     		tx = 55527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326221466064453 × 217)
    floor (0.326221466064453 × 131072)
    floor (42758.5)     		ty = 42758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55527 / 42758 ti = "17/55527/42758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55527/42758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55527 ÷ 217
    55527 ÷ 131072     		x = 0.423637390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42758 ÷ 217
    42758 ÷ 131072     		y = 0.326217651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423637390136719 × 2 - 1) × π
    -0.152725219726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.47980043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326217651367188 × 2 - 1) × π
    0.347564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09190669954564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47980043} λ = -0.47980043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09190669954564))-π/2
    2×atan(2.97995052951504)-π/2
    2×1.24702869567279-π/2
    2.49405739134557-1.57079632675     		φ = 0.92326106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47980043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.490540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92326106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.898962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55527 KachelY 42758 -0.47980043 0.92326106 -27.490540 52.898962
    Oben rechts KachelX + 1 55528 KachelY 42758 -0.47975249 0.92326106 -27.487793 52.898962
    Unten links KachelX 55527 KachelY + 1 42759 -0.47980043 0.92323215 -27.490540 52.897306
    Unten rechts KachelX + 1 55528 KachelY + 1 42759 -0.47975249 0.92323215 -27.487793 52.897306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92326106-0.92323215) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92326106-0.92323215) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47980043--0.47975249) × cos(0.92326106) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603222435324867 × 6371000     		do = 184.239658693792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47980043--0.47975249) × cos(0.92323215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603245492908269 × 6371000     		du = 184.246701073265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92326106)-sin(0.92323215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603222435324867-0.603245492908269)×R²
    abs(-0.47975249--0.47980043)×2.30575834014868e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30575834014868e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30575834014868e-05×40589641000000     		ar = 33934.9424776397m²