Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55526 / 44526
↖ ↑ ↗
← N 49.869857°
W 27.493286°		 ← 196.85 m → N 49.869857°
W 27.490540°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
N 49.868087°
W 27.493286°		 ← 196.86 m →
38 754 m²		 N 49.868087°
W 27.490540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423633575439453 y=0.339710235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423633575439453 × 217)
    floor (0.423633575439453 × 131072)
    floor (55526.5)     		tx = 55526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339710235595703 × 217)
    floor (0.339710235595703 × 131072)
    floor (44526.5)     		ty = 44526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55526 / 44526 ti = "17/55526/44526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55526/44526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55526 ÷ 217
    55526 ÷ 131072     		x = 0.423629760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44526 ÷ 217
    44526 ÷ 131072     		y = 0.339706420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423629760742188 × 2 - 1) × π
    -0.152740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47984837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339706420898438 × 2 - 1) × π
    0.320587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00715426101738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47984837} λ = -0.47984837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00715426101738))-π/2
    2×atan(2.7377988578944)-π/2
    2×1.22059476748309-π/2
    2.44118953496617-1.57079632675     		φ = 0.87039321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47984837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87039321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.869857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55526 KachelY 44526 -0.47984837 0.87039321 -27.493286 49.869857
    Oben rechts KachelX + 1 55527 KachelY 44526 -0.47980043 0.87039321 -27.490540 49.869857
    Unten links KachelX 55526 KachelY + 1 44527 -0.47984837 0.87036231 -27.493286 49.868087
    Unten rechts KachelX + 1 55527 KachelY + 1 44527 -0.47980043 0.87036231 -27.490540 49.868087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87039321-0.87036231) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87039321-0.87036231) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47984837--0.47980043) × cos(0.87039321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644525955616779 × 6371000     		do = 196.854816943561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47984837--0.47980043) × cos(0.87036231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644549580906168 × 6371000     		du = 196.862032715055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87039321)-sin(0.87036231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644525955616779-0.644549580906168)×R²
    abs(-0.47980043--0.47984837)×2.36252893888178e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36252893888178e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36252893888178e-05×40589641000000     		ar = 38754.3172628959m²