Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55526 / 44442
↖ ↑ ↗
← N 50.018329°
W 27.493286°		 ← 196.25 m → N 50.018329°
W 27.490540°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
N 50.016564°
W 27.493286°		 ← 196.26 m →
38 523 m²		 N 50.016564°
W 27.490540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423633575439453 y=0.339069366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423633575439453 × 217)
    floor (0.423633575439453 × 131072)
    floor (55526.5)     		tx = 55526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339069366455078 × 217)
    floor (0.339069366455078 × 131072)
    floor (44442.5)     		ty = 44442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55526 / 44442 ti = "17/55526/44442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55526/44442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55526 ÷ 217
    55526 ÷ 131072     		x = 0.423629760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44442 ÷ 217
    44442 ÷ 131072     		y = 0.339065551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423629760742188 × 2 - 1) × π
    -0.152740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47984837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339065551757812 × 2 - 1) × π
    0.321868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01118096058546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47984837} λ = -0.47984837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01118096058546))-π/2
    2×atan(2.74884537695378)-π/2
    2×1.22189042670128-π/2
    2.44378085340255-1.57079632675     		φ = 0.87298453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47984837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87298453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.018329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55526 KachelY 44442 -0.47984837 0.87298453 -27.493286 50.018329
    Oben rechts KachelX + 1 55527 KachelY 44442 -0.47980043 0.87298453 -27.490540 50.018329
    Unten links KachelX 55526 KachelY + 1 44443 -0.47984837 0.87295372 -27.493286 50.016564
    Unten rechts KachelX + 1 55527 KachelY + 1 44443 -0.47980043 0.87295372 -27.490540 50.016564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87298453-0.87295372) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dl = 196.290509999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87298453-0.87295372) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dr = 196.290509999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47984837--0.47980043) × cos(0.87298453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642542516116033 × 6371000     		do = 196.2490234663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47984837--0.47980043) × cos(0.87295372) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642566123974616 × 6371000     		du = 196.256233913977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87298453)-sin(0.87295372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642542516116033-0.642566123974616)×R²
    abs(-0.47980043--0.47984837)×2.3607858582686e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3607858582686e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3607858582686e-05×40589641000000     		ar = 38522.5285773819m²