Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55525 / 44557
↖ ↑ ↗
← N 49.814949°
W 27.496033°		 ← 197.04 m → N 49.814949°
W 27.493286°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 49.813176°
W 27.496033°		 ← 197.04 m →
38 828 m²		 N 49.813176°
W 27.493286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423625946044922 y=0.339946746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423625946044922 × 217)
    floor (0.423625946044922 × 131072)
    floor (55525.5)     		tx = 55525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339946746826172 × 217)
    floor (0.339946746826172 × 131072)
    floor (44557.5)     		ty = 44557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55525 / 44557 ti = "17/55525/44557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55525/44557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55525 ÷ 217
    55525 ÷ 131072     		x = 0.423622131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44557 ÷ 217
    44557 ÷ 131072     		y = 0.339942932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423622131347656 × 2 - 1) × π
    -0.152755737304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.47989630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339942932128906 × 2 - 1) × π
    0.320114135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00566821712916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47989630} λ = -0.47989630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00566821712916))-π/2
    2×atan(2.73373339011438)-π/2
    2×1.22011559846166-π/2
    2.44023119692331-1.57079632675     		φ = 0.86943487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47989630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.496033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86943487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.814949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55525 KachelY 44557 -0.47989630 0.86943487 -27.496033 49.814949
    Oben rechts KachelX + 1 55526 KachelY 44557 -0.47984837 0.86943487 -27.493286 49.814949
    Unten links KachelX 55525 KachelY + 1 44558 -0.47989630 0.86940394 -27.496033 49.813176
    Unten rechts KachelX + 1 55526 KachelY + 1 44558 -0.47984837 0.86940394 -27.493286 49.813176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86943487-0.86940394) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86943487-0.86940394) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47989630--0.47984837) × cos(0.86943487) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645258389459448 × 6371000     		do = 197.03741167976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47989630--0.47984837) × cos(0.86940394) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645282018569817 × 6371000     		du = 197.044627112869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86943487)-sin(0.86940394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645258389459448-0.645282018569817)×R²
    abs(-0.47984837--0.47989630)×2.36291103690167e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36291103690167e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36291103690167e-05×40589641000000     		ar = 38827.9239914227m²